Page 1 of 2

ΛΥΚΕΙΑΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ ΛΕΧΑΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2016-17

ΤΑΞΗ: Γ ́ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ –

ΙΟΥΝΙΟΥ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο γραπτό σας τη

λέξη ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

1. Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο σημείο

0 x

, τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στο

0 x

2. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε

f x 0   

για κάθε

xΔ .

3. Κάθε «1-1» συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη .

4. Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο Α. Αν η f είναι συνεχής στο Α και

f x 0   

για

κάθε εσωτερικό σημείο x του Α , τότε η f είναι σταθερή σε όλο το Α.

5. Αν

f x 0   

κοντά στο

0 x

τότε ισχύει

 

0

x x

lim f x 0



 .

Μονάδες 10

Α2. Έστω μία συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν

f x 0   

σε κάθε εσωτερικό σημείο x του

Δ , να δείξετε ότι η

f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση

 

2 x f x x e 

Β1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση

f

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

Μονάδες 9

Β2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση

f

ως προς τη κυρτότητα Μονάδες 5

Β3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της

f

Μονάδες 5

Β4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της

Cf

στο

0

x 2  

Μονάδες 6

Page 2 of 2

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

f : 

για την οποία ισχύουν:

f x f x x ( ) ( )  



, για κάθε

x

και

f (0) 1  .

Γ1. Να αποδείξετε ότι

f x( ) 0 

για κάθε

x .

Μονάδες 9

Γ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση

( ) ( )

( )

f x

g x

f x



 , x

είναι σταθερή. Μονάδες 7

Γ3. Να δείξετε ότι

2

f x x ( ) 1   , x .

Μονάδες 9

ΘΕΜΑ Δ

Οι συναρτήσεις

f g,

είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο με

g(0) 1  ,

2

f x g x ( ) ( ) 0  

και

2 2 f x g x ( ) ( ) 1  

για κάθε

x .

Δ1. Να αποδείξετε ότι:

i. g x g x f x ( ) ( ) ( )  

για κάθε x . Μονάδες 4

ii. H

g

είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα

  , 0 , 0,   

και έχει ακρότατο το

1.

Μονάδες 6

Δ2. i. Να μελετήσετε τη συνάρτηση

f

ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της.

Μονάδες 5

ii. Nα αποδείξετε ότι

f x x   

, για κάθε

x 0  .

Μονάδες 4

Δ3. Να δείξετε ότι υπάρχει

ξ 0,1  

, τέτοιο ώστε

f ξ ln g 1      

Μονάδες 6

Καλή επιτυχία

Λέχαιο 15 Μαΐου 2017

Καλή επιτυχία

Η Διευθύντρια Ο εισηγητής

Στ. Σταυρόπουλος