Page 1 of 240
தமிழ்நாடு அரசு
தீண்டாணம மனிதேநயமற்ற ெசயலும் ெபருஙகுற்றமும் ஆகும்
வணி்கக் ்கணிதம்
மற்றும்
புள்ளியியல்
ேமல்நிணல முதலாம் ஆண்டு
தமிழ்நாடு அரசு விணலயில்லாப் பாடநூல் வழஙகும் திட்டத்தின் கீழ் ெவளியிடப்பட்டது
பள்ளிக் கல்ÚதுணL
ெதாகுதி 1
Preliminary_XI_TM.indd 1 19/04/18 7:20 PM
www.tntextbooks.in
Page 3 of 240
(iii)
மவணை மற்றும் 6யßகல்
மமம்பாட்டிற்காG வாÞப்புகள்
பாCநூல் 6ள்N ணK¶ குறிட்ணCப்
Ĕĕ ĆĬġĢ
பயåபடுÚதுமவாம் 8ப்படி"
í உங்கள் திைனமெசியில், ·குள் ĭĩĞĶİıĬįĢ ஆப்பிள் Ğĭĭ İıĬįĢ ப்காணடு Qĕ CĬġĢ ஸ்ம்கனர பெயலிலய இலவெோ்கப் ெதிவிைக்்கம் பெயது
நிறுவிக்ப்காள்்க.
í பெயலிலயத் திைநதவுடன, ஸ்ம்கன பெயயும் பொத்தாலன அழுத்தித் திலரயில் மதானறும் ம்கேராலவ Qĕ CĬġĢ-இன அருகில் ப்காணடு பெல்லவும்.
í ஸ்ம்கன பெயவதன Âலம் திலரயில் மதானறும் உரலிலயச (Ęĕď) பொடுக்்க, அதன விளக்்கப் ெக்்கத்திற்குச பெல்லும்.
4Ûநூணைக் ணகயாள்வதற்காG வகாட்டி
வணி்கக் ்கணிதம் ேற்றும் புள்ளியலல ஒரு ொடோ்கக் ப்காணட மேல்நிலல
வகுப்பு வணி்கவியல் ோைவர்களுக்்கான மேற்ெடிப்பு வாயப்பு்களின ெட்டியல்.
ோைவர்கள் ஒáபவாரு அத்தியாயம் , ொடம் அல்லது ஆணடு இறுதியில் கற்Lå மFாக்கÕகள் அலடநதிருக்்கமவணடிய ்கற்ைல் இலக்கு்கலளக் குறிக்கிைது,
குறிப்பு ொடத்தின ·டுதல் ்கருத்துக்்கலள தருெலவ.
ோைவர்களின ்கணித சிநதலன்கலள வளரக்கும் வியத்தகு உணலே்கள்,
்கருத்துக்்கள் மொனைலவ.
பயிற்z ோைவர்களின நிலனவாற்ைல் ,சிநதித்தல் ேற்றும் புரிதலல மேம்ெடுத்த ெயிற்சி
அளித்தல்.
4ணையÖ Y@யல்பாடு ோைவர்களின ்கணினி ொர அறிவுத்திைலன மேம்ெடுத்துதல்.
4ணைய 4ணைப்புகள்
6CGடி பல்
ணGக் குறிடு
4தK கைக்குகள்
கணைÖ Y@ாற்கள்
பாßணவ நூல்கள்
்கணினி வ Âலங்களுக்்கான ெட்டியல்.
ோைவர்கள் ொடங்கள் பதாடரொன ்கருத்துக்்கலள மேலும் அறிநதுப்காள்ள
பேயநி்கர ்கற்ைல் உல்கத்துக்கு அலழத்து பெல்லும் வ.
ோைவர்களுக்்கான ்கற்ைலல மேம்ெடுத்த ·டுதல் ்கைக்கு்கள்.
்கணித தமிழ் வச பொற்்களுக்்கான ஆஙகில போயாக்்கம்
ொடத் தலலப்மொடு பதாடரபுலடய மேலும் விவரங்கலள அறிநது ப்காள்வதற்்கான
துலைநூற்்களின ெட்டியல்
Preliminary_XI_TM.indd 3 19/04/18 7:20 PM
www.tntextbooks.in
Page 4 of 240
(iv)
வணிகக் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் பயி3ம் மாைவßக ́க்காG
மவணை மற்றும் 6யßகல் மமம்பாட்டிற்காG வாÞப்புகள்
P~>யல் பTCÚட்CÚல் P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயணM ;±
பTCIT> Y>TÙC
ல் ப3Ý ZIல்ணM P¤Ü® ITைPß>ã
EÕ>Nது ZIற்படிܮԤ ąĆĄ ąĆĬĪ Iற்2Ý ąĖĠ ®ãயல் 3xய
¶>ணN ZE߶ Y@ÞயMTÝ
P~>
¶ ZIல்ணM P¤Ü® ITைPß> ́Ô¤ PÕx Iற்2Ý 2PGÕ>3Ý ZPணM
PTÞÜ®>ã zLÜபT> 6ãNG >~ணய ;± zLÛE பTCIT>Ô Y>TÙC ąĆĬĪ
ணP
Yப±ÝபTMTG ITைPß>ã ZE߶ Y@ÞxåLGß
YETல் ̄ணL ZIற்படிÜ®Ô>NTG ĆĄ ČĆĄČ ̄Eய படிÜ®>ணN ZEßÛYE©Úது YPற்
Yப2PEå ÂMÝ பட்Cய>ைÔ>TNß
ĆĥĞįıĢįĢġ ĄĠĠĬIJīıĞīı
2PGÖ Y@யMß
ĆĬĪĭĞīĶ ĖĢĠįĢıĞįĶ
ZபTåL zLÛE பE>ணN YபL ̄டி°Ý ZI3Ý ąĆĬĪ பட்CET
>ã ĐĆĬĪ ēĥć Iற்2Ý ĐēĥĦĩ
ZபTåL ZIற்படிÜ® P¤Ü®>ணN YETCKMTÝ ąĆĬĪ பட்CET
> ́Ô¤ Yப±INல் ZPணM
PTÞÜ®>ã >TÚ±ÔxåLG
பட்CÜபடிÜ® ̄டிÚE L¤ ĐąĄĐĄ YபT±யல் ĐĄ Y@யல் ̄ணL Iற்2Ý ®ãயல் 3KTÞÖz
பட்C ZIற்படிÜ® ̄Eய
¶>ணN ZE߶ Y@ÞயMTÝ 4Pற்ணL EK 8Ùைற்L பட்Cய
படிÜ® @TåEâ படிÜ® Iற்2Ý YETற் பற்zÔ >ல்>ã ̄EயGPற்ணL ZIற்Y>TãPEå
ÂMÝ 3KÝப >TM ZPணM PTÞÜ®>ணN YபLMTÝ
P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயணM ;± பTCIT>Ô Y>TÙC ZIல்ணM P¤Ü® P~>யல்
ITைPß> ́Ô>TG ZIற்படிÜ® PTÞÜ®>å பட்டியல்
படிப்புகள் கல் நிறுவGÕகள் மமற்படிப்ற்காG
வாÞப்புகள்
4ணNÕகணை வணிகயல்
ąĆĬĪ
ąĆĬĪ
ĆĬĪĭIJıĢį
4ணNÕகணை யாபாK
நிßவாகம்
ąąĄ
4ணNÕகணை வணிக மமைாண்ணம
ąąĐ
4ணNÕகணை கணிணி பயåபாடுகள்
ąĆĄ
4ணNÕகணை கணை
ąĄ
• அலனத்து அரசினர ்கலல ேற்றும் அறிவியல்
்கல்லூரி்கள், அரசு நிதி உதவிபெறும் ்கல்லூரி்கள்,
சுயநிதி ்கல்லூரி்கள்
• Ðராம் வணி்கவியல் ்கல்லூரி (SĕCC), புதுபடல்லி.
• ·ட்டுவாழ்வு ெமுதாய ்கலல ேற்றும் வணி்கவியல்
்கல்லூரி, பூமன (SĶĪğĦĬİĦİ SĬcĦĢıĶrİ CĬĩĩĢĤĢ Ĭģ Ąįıİ
CĬĪĪĢįcĢ, PIJīĢ).
• புனித சூலெயப்ெர ்கல்லூரி, பெங்களுரூ
C.A., I.C.W.A, C.S.
4ணNÕகணை 2றியல் புள்ளியியல்
ąĖĠ ĖıĞıĦİıĦĠİ
• ோநில ்கல்லூரி மெப்ொக்்கம், பெனலன.
• பெனலன கிறித்தவ ்கல்லூரி, தாம்ெரம்
• லமயாலா ்கல்லூரி, பெனலன
• ć.ĕ.ą.C.C இநது ்கல்லூரி ெட்டாபிராம், பெனலன.
M.Sc.
வ±C ;±ÕxணைÛத யாபாK
நிßவாகம் வணிகம் மற்றும் @ட்C
படிப்புகள்
ĉĦijĢ ĶĢĞįİ ĦīıĢĤįĞıĢġ ĆĬIJįİĢ
ąąĄ ďďą ąĄ ďďą
ąĆĬĪ ďďą
• அலனத்து அரசு ெட்ட ்கல்லூரி்கள்.
• டாக்டர அம்மெத்்கர ெட்ட ெல்்கலல்கழ்கத்தின ழ்
இலைக்்கப்ெட்ட சிைப்பு ெட்டக் ்கல்வி நிறுவனங்கள்
M.L.
வ±C ;±ÕxணைÛத முதுகணை
Yபா±ளியல் படிப்புகள்
ĐĄ ĈĠĬīĬĪĦĠİ
ČīıĢĤįĞıĢġ ĉĦijĢ ĜĢĞį
ĠĬIJįİĢ
– ĄġĪĦİİĦĬī ğĞİĢġ Ĭī Ąĩĩ ČīġĦĞ
ĈīıįĞīĠĢ ĈĵĞĪĦīĞıĦĬī
• பெனலன பொருளியல் ்கல்லூரி, ம்காட்1⁄4ரபுரம்,
பெனலன
Ph.D.,
4NÕகணை @Âகப்பணி
ąĖĚ
• பெனலன ெÂ்கப்ெணி ்கல்லூரி, எழும்பூர, பெனலன. M.S.W
Preliminary_XI_TM.indd 4 19/04/18 7:20 PM
www.tntextbooks.in
Page 28 of 240
22 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
8டுÚதுக்காட்டு
மநரோறு அணி முலையில் தீரக்்க :
2x + 5y = 1
3x + 2y = 7
߶
x
y
2
3
5
2 = = G G =
1
7
= G என எழுதலாம்
AX = B
X = A–1B
A =
2
3
5
2 = G, X =
x
y
= G and B =
1
7
= G
A =
2
3
5
2
= –11 ] 0
A–1 லயக் ்காைஇயலும்.
adj A =
2
3
5
- 2
- = G
A–1 = A adjA 1
= 11
1 2
3
5
- - 2
- = G
X = A–1B
= 11
1 2
3
5
2
1
- - 7
- = G = G
= 11
1 33
11 - -
= G =
3
-1 = G
x
y
= G =
3
-1 = G
x = 3 , y = –1.
CH-1_TM.indd 22 19/04/18 6:38 PM
www.tntextbooks.in
Page 33 of 240
2~> ́Ý 2~ÔZ>TணP> ́Ý 27
பயிற்z
1. மநரோறு அணிமுலையில் தீரக்்க : 2x + 3y – 5 = 0 ; x – 2y + 1 = 0
2. மநரோறு அணிமுலையில் தீரக்்க :
(i) 3x – y + 2z = 13 ; 2x + y – z = 3 ; x + 3y – 5z = –8
(ii) x – y + 2z = 3 ; 2x + z = 1 ; 3x + 2y + z = 4.
(iii) 2x – z = 0 ; 5x + y = 4 ; y + 3z = 5
3. இரவி எனகிை விற்ெலனயாளர பவáமவறு தரகு தங்கலளயுலடய A, B, C எனை
Âனறு பொருட்்கலள 2009 ஆணடின ெனவரி, பிப்ரவரி ேற்றும் ோரச ோதங்களில் விற்ெலன
பெயததற்்கான விவரங்கள் மழயுள்ள அட்டவலையில் ப்காடுக்்கப்ெட்டுள்ளன
மாதÕகள் ற்பணG Y@Þத 2ைகுகள் Yபற்L YமாÚத தKகு
A B C
Äபாயில்
ெனவரி 9 10 2 800
பிப்ரவரி 15 5 4 900
ோரச 6 10 3 850
A, B, C எனை Âனறு பொருட்்களுக்்கான தரகு தத்லத மநரோறு அணி முலையில்
்காண்க.
4. A, B, C எனை Âனறு பொருட்்களின விலலலய ஒரு அலகிற்கு முலைமய x, y ேற்றும் z
என்க. P எனெவர 4 அலகு C லய வாஙகுகிைார 3 அலகு A ேற்றும் 5 அலகு B லய விற்ெலன
பெயகிைார. Q எனெவர 3 அலகு B லய வாஙகுகிைார. மேலும் 2 அலகு A லயயும் 1 அலகு C
லயயும் விற்ெலன பெயகிைார. R எனெவர 1 அலகு A லய வாஙகுகிைார. மேலும் 4 அலகு
B லயயும் 6 அலகு C லயயும் விற்ெலன பெயகிைார. மேற்்கணடவற்றில் P,Q,R எனெவர்கள்
முலைமய 5ட்டியத் பதால்க )6,000, )5,000, )13,000 எனில் A,B ேற்றும் C ன ஒரு
அலகிற்்கான விலலலயக் மநரோறு அணி முலையில் ்காண்க.
5. Âனறு எண்களின ·டுதல் 20. முதல் எணலை 2 ஆல் பெருக்கி, இரணடாவது எணலைக்
·ட்டி, Âனைாவது எணலைக் ்கக்்க, கிலடக்கும் ேதிப்பு 23 ஆகும். முதல் எணலை
Âனைால் பெருக்கி வரும் ேதிப்புடன இரணடு ேற்றும் Âனைாம் எண்கலளக் ·ட்ட
கிலடக்கும் ேதிப்பு 46 எனில் அநத எண்கலள மநரோறு அணிமுலையில் ்காண்க.
6. ஒரு அலுவல்கத்தில் Âனறு வாரங்களில் பெலவு்கள் பெயததற்்கான விவரங்கள்
தரப்ெட்டுள்ளன. Âனறு வாரங்களுக்கு பவáமவறு தரப்பினரின ஊதியங்கள் ோைாேல்
இருப்ெதா்கக் ப்காள்மவாம். ஒáபவாரு தரப்பினரின ஊதியத்லதயும் மநரோறு அணி
முலையில் ்கைக்கிடு்க.
CH-1_TM.indd 27 19/04/18 6:38 PM
www.tntextbooks.in
Page 35 of 240
2~> ́Ý 2~ÔZ>TணP> ́Ý 29
aij எனெது Aj ஆல் ெயனெடுத்தப்ெடும் Ai
இன உற்ெத்தியின ரூொய ேதிப்பு என்க. இதில்
i, j = 1, 2
x1 ேற்றும் x2 எனென முலைமய A1 ேற்றும் A2 இன தற்மொலதய உற்ெத்தி்களின ரூொய
ேதிப்பு்கள் என்க.
d1 ேற்றும் d2 எனென முலைமய A1 ேற்றும் A2 இன உற்ெத்திக்்கான இறுதித் மதலவ்களின
ரூொய ேதிப்பு்கள் என்க.
இவற்றின வாயிலா்க நாம் அலேக்கும் ெேனொடு்கள்
a11+ a12+ d1
= x1
; a21+ a22+ d2
= x2
... (1)
மேலும் bij =
x
a
j
ij i, j = 1, 2 என்க
அதாவது b11 = ; ; ; x
a b
x
a b
x
a b
x
a
1
11
12
2
12
21
1
21
22
2
22 = = =
எனமவ ெேனொடு்கள் (1) லய ழ்்கணடவாறு எழுதலாம்.
b11x1
+ b12x2
+ d1
= x1
b21x1
+ b22x2
+ d2
= x2
இவற்லைக் ழ்்கணடவாறு ோற்றி எழுதலாம்.
^ h 1 - - b x 11 1 1 b x2 2 = d1
- + b x 21 1 2 ^ h 1 - b x 22 = d2
இவற்றின அணி அலேப்பு
b
b
b
b
x
x
1
1
11
21
12
22
1
2
-
-
-
- = G = G =
d
d
1
2
= G
b
b
b
b
x
x
1
0
0
1
11
21
12
22
1
2
) 3 e e o o - = G =
d
d
1
2
= G
(1–B)X = D ஆகும்
இஙகு B = , b
b
b
b I
1
0
0
1
11
21
12
22 = = G G =
X = , x
x
D d
d
1
2
1
2
= = G G =
X=(I–B)-1D
இஙகு அணி B எனெது பதால்¬ட்ெ அணி [Technology Matrix] எனப்ெடும்.
CH-1_TM.indd 29 19/04/18 6:39 PM
www.tntextbooks.in
Page 42 of 240
36 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
7. ஒரு பதாற்ொலல உற்ெத்திப் ெரிோற்ைத்தின இரு பிரிவு X ேற்றும் Y ப்காடுக்்கப்ெட்டுள்ளது.
6ற்பÚப்
¶ ¬கßமவாß
¶ 6ள்Fாட்டு
மதணவ
YமாÚத
6ற்பÚ
X Y
X 15 10 10 35
Y 20 30 15 65
X ன உள்நாட்டு மதலவ 12 க்கும் Y ன உள்நாட்டு மதலவ 18 க்கும் ோறும் மொது போத்த
உற்ெத்தி ்காண்க.
பயிற்z
@
யாG ணCணயÚ மதßÛYதடுÚது 8μதுக
1. x x
x
0
1
1
2
3
0
= 0 எனில் x ன ேதிப்பு்கள் ்காண்க
( a ) 0, –1 ( b ) 0, 1 ( c ) – 1, 1 ( d ) –1, –1
2.
x y
y z
z x
x
y
z
y
z
x
2
2
2
+
+
+
இன ேதிப்பு
(a) x y z (b) x + y + z (c) 2x + 2y + 2z (d) 0
3.
2
6
1
3
0
5
5
4
7
-
-
இல் – 7 இன இலைக் ்காரணி
(a) –18 (b) 18 (c) –7 (d) 7
4. If
1
3
2
2
1
3
3
2
1
D = எனில்,
3
1
2
1
2
3
2
3
1
ன ேதிப்பு
(a) ' (b) –' (c) 3' (d) –3'
5.
a
b
c
0
0
0
0
0
0
2
எனை அணிக் ம்காலவயின ேதிப்பு
(a) abc (b) 0 (c) a2 b2 c2
(d) –abc
6. A எனெது வரிலெ 3 உலடய ெதுர அணி எனில் |kA| எனெது
(a) k A (b) – k A (c) k3 A (d) – k3 A
CH-1_TM.indd 36 19/04/18 6:39 PM
www.tntextbooks.in
Page 51 of 240
4யற்>~EÝ 45
8டுÚதுக்காட்டு
x x
x
4 1
4
2 - +
+
^ h] g : ெகுதி பினனங்களா்க ோற்று்க.
߶
ெகுதிலய ஒரு ெடி ்காரணி்களின பெருக்்கங்களா்க எழுது்க
x 4 x 1 2 ^ - h] + g=]]] xxx -++ 221 ggg
` x x
x
4 1
4
2 - +
+
^ h] g =
x
A
x
B
x
C - 2 2 1 + + + ] ] g g ] + g என்க ...(1)
இரு புைமும் (x–2)(x+2)(x+1) ஆல் பெருக்்க
x + 4 = A]] ]] ]] x x + + 21 21 22 gg gg gg + B x x - + + C x x - + ... (2)
x = –2 என (2) ல் பிரதியிட
- +2 4 = A B ]0g+ ] ] - - 4 1 g g+ C]0g
` B = 2
1
x = 2 என (2) ல் பிரதியிட
2 + 4 = A B ]4 3 g] ] g g + + 0 0 C] g
` A = 2
1
x = –1 என (2) ல் பிரதியிட
- +1 4 = A B ] ] 0 0 g g + + C]-3g]1g
` C =-1
x x
x
4 1
4
2 - +
+
^ h] g = 2 x 2 ( ) x x
1
2 2
1
1
1 - + + - ] g +
பகுயில் ;± படிக் காKணிகள்
ī முணL ±ம்பÚ ±ம்ப வ±வது
ப்காடுக்்கப்ெட்ட ( )
( )
q x
p x , எனை பினனத்தில் ெகுதி q x( )ல் ] g ax b + எனை ஒருெடிக்
்காரணியானது n முலை திரும்ெத் திரும்ெ வருோயின, ax b n ] g + வடிவத்தில் இருநதால் அதற்குரிய
எளிய பினனம் பினவருோறு
Ch-2_TM.indd 45 19/04/18 6:56 PM
www.tntextbooks.in
Page 52 of 240
46 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
ax b
A
ax b
A
ax b
A
ax b
A n 1 n 2
2
3 + + 3 g + + + + + ] g ] ] g g ] + g
உதாரைோ்க, x x
x
4 1
9 7
2 + +
+
] ]g g =
x
A
x
B
x
C
4 1 1 + + + + 2 ] ] g g ] + g
8டுÚதுக்காட்டு
x x
x
1 1 2 ] ]g g - + = x
A
x
B
x
C
1 1 1 - + + + 2 ] g + எனில் A, B ேற்றும் C ன ேதிப்பு்கலளக்
்காண்க.
߶
x x
x
1 1 2 ] ]g g - + = x
A
x
B
x
C
1 1 1 - + + + 2 ] g +
x = A x 1 1 B x x 1 1 C x 2 ] ] + g g + - + ] ] g g + - ... (1)
x = 1 என (1) ல் பிரதியிட
1 = A B 1 1 0 0 C + 2 ] g + + ] ] g g
` A = 4
1
x = –1 என (1) ல் பிரதியிட
-1 = A B ] ] 0 0 g g + + C]- -1 1g
` C = 2
1
ெேனொடு (1) ல் ோறிலி்களின ப்கழுக்்கலள ெேனெடுத்த
A B - - C = 0
& B = A C -
` B = – 4
1
8டுÚதுக்காட்டு
x x
x
2 3
1
2 - +
+
] ]g g : ெகுதி பினனங்களா்க ோற்று்க.
߶
Let
x x
x
2 3
1
2 - +
+
] ]g g =
x
A
x
B
x
C
2 2 3 - + 2 - + ] g ] g ] + g ... (1)
x x 2 3 2 ] ]g g - + ஆல் இருபுைமும் பெருக்்க
x + 1 = A x x 2 3 B x 3 2 C x 2 ] ] - + g g+ ] ] + g g + - ...(2)
Ch-2_TM.indd 46 19/04/18 6:56 PM
www.tntextbooks.in
Page 53 of 240
4யற்>~EÝ 47
x = 2 என (2) ல் பிரதியிட
2+1 = A B ] ] 0 5 g g + + C]0g
` B = 5
3
x = –3 என (2) ல் பிரதியிட
–3+1 = A B 0 0 C 3 2 2 ] ] g g + + ]- - g
` C = 25
-2
x2 இன ப்கழுக்்கலள ெேனொடு (2) ல் இருபுைமும் ெேனெடுத்த
0 = A C +
A = -C
` A = 25
2
A B, ேற்றும் C ன ேதிப்பு்கலள (1) ல் பிரதியிட,
x x
x
2 3
1
2 - +
+
] ]g g = 25 x 2 x x
2
5 2
3
25 3
2 - + 2 - - ] g ] g ] + g .
8டுÚதுக்காட்டு
x x 1 2
9
2 ] ]g g - + : ெகுதி பினனங்களா்க ோற்று்க.
߶
x x 1 2
9
2 ] ]g g - + =
x
A
x
B
x
C
1 2 2 - + + + 2 ] ] g g ] + g ... (1)
x x 1 2 2 ] ]g g - + ஆல் இருபுைமும் பெருக்்க
` 9 = A x 2 1 B x x 2 1 C x 2 ] ] + g g + - + ] ] g g + - ... (2)
x = –2 என (2) ல் பிரதியிட
9 = A B ] ] 0 0 g g + + C]- -2 1g
` C = –3
x = 1 என (2) ல் பிரதியிட
9 = A B 3 0 C 0 2 ] ] g g + + ] g
` A = 1
Ch-2_TM.indd 47 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 54 of 240
48 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
x2 இன ப்கழுக்்கலள ெேனொடு (2) ல் இருபுைமும் ெேனெடுத்த
0 = A B +
B = -A
` B = –1
A B, ேற்றும் C ன ேதிப்பு்கலள (1) ல் பிரதியிட
x x 1 2
9
2 ] ]g g - + = x x 1 x
1
2
1
2
3 - - + - 2 ] g +
;± படி காKணிகNாக காKணிப் படுÚதமுடியாத 4± படிக் காKணிகணN
6ள்NCக்xய பகு
q x
p x
]
]
g
g
, எனகிை விகிதமுறு ம்காலவயில், q] gx எனெது ax bx c 2 + + எனை இருெடிக்
்காரணி, ஒருெடிக் ்காரணி்களின பெருக்்கலா்க ோற்ை இயலாது எனில், q x
p x
]
]
g
g
எனெதலன
ax bx c
Ax B
2 + +
+ எனகிை அலேப்பில் ெகுதிப் பிரிப்ொ்க எழுதலாம்.
8டுÚதுக்காட்டு
x x
x
1 1
2 1
2 - +
+
] g^ h எனெதலன ெகுதி பினனோ்க பிரிக்்க.
߶
இஙகு x 1 2 ^ h + லய ஒரு ெடி ்காரணி்களா்க ்காரணி ெடுத்த முடியாது. எனமவ
x x
x
1 1
2 1
2 - +
+
] g^ h = x
A
x
Bx c
1 1 - + 2 +
+
என்க. ... (1)
இருபுைமும் x 1 x 1 2 ] - g^ + h ஆல் பெருக்கு்க
2x+1 = A x 1 Bx C x 1 2 ^ + h+] + - g] g ... (2)
x = 1 என (2) ல் பிரதியிட
2+1 = A] g 1 1 + + 0
` A = 2
3
x = 0 என (2) ல் பிரதியிட
0+1 = A]0 1 + g+]0 1 + - Cg] g
1 = A – C
` C = 2
1
Ch-2_TM.indd 48 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 55 of 240
4யற்>~EÝ 49
x2 இன ப்கழுக்்கலள ெேனொடு (2) இன இருபுைமும் ெேனெடுத்த,
A B + = 0
B = -A
` B = 2
-3
A B, ேற்றும் C ன ேதிப்பு்கலள (1) ல் பிரதியிட
x x
x
1 1
2 1
2 - +
+
] g^ h = x x
x
1
2
3
1
2
3
2
1
- + 2 +
- +
=
x x
x
2 1
3
2 1
3 1 - - 2 +
-
] g ^ h
பயிற்z 1
ழ்்காணும் பினனங்கலள ெகுதி பினனங்களா்க ோற்று்க:
1.
x x
x
3 2
3 7
2 - +
+ 2. x x
x
2 1
4 1
- +
+
] ]g g 3.
x x 1 2
1
2 ] ]g g - +
4.
x 1
1
2 - 5.
x x
x
2 1
2
2 + -
-
] ]g g 6.
x
x x
2
2 5 7
3
2
-
- -
] g
7.
x x
x x
2
6 2
2
2
+
- +
] g 8.
x x
x
2 1
3
2
2
+ +
-
] g^ h 9.
x x
x
1 3
2
2 - +
+
] ]g g
10.
x 4 x 1
1
2 ^ + h] + g
வ
ண@ மாற்LÕகள்
காKயப் Yப±க்கம்ĩ
9மதம் இயல் எண n ற்கு, n - ன ்காரயப் பெருக்்கல் எனெது, முதல் n இயல் எண்களின
பெருக்குத் பதால்கயாகும். இது குறிட்டில் n! அல்லது n எனக் குறிக்்கப்ெடுகிைது.
n, எனகிை இயல் எணணிற்கு n! = n] ]g g n n - - 1 2 ... 3 2 # # 1
எடுத்துக்்காட்டா்க,
5! = 5#4#3#2#1 =120
4! = 4#3#2#1=24
3! = 3#2#1=6 குறிப்பு
0! = 1
2! = 2#1=2
1! = 1
Ch-2_TM.indd 49 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 56 of 240
50 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
9மதம் இயல் எண n க்கு
n! = n] ]g g n n - - 1 2 ... 3 2 # # 1
= n] g n - 1 !
= n] ]g g n n - - 1 2 !
குறிப்ொ்க, 8! = 8×(7×6×5×4×3×2×1)
= 8×7!
8டுÚதுக்காட்டு
ழ்்கணடவற்றின ேதிப்பு்கலளக் ்காண்க:
(i) !
!
6
7 (ii) !
!
5
8 (iii) ! !
!
6 3
9
߶
(i) !
!
6
7
= !
!
6
7 6 # = 7.
(ii) !
!
5
8
= !
!
5
8765 # # # = 336.
(iii) ! !
!
6 3
9
= ! !
!
6 3
987 6
321
9 8 7
#
# # #
# #
# # = = 84.
8டுÚதுக்காட்டு
7! : 5! ன ்காரயப் பெருக்்கலா்க ோற்றி எழுது்க.
߶
7! = 7×6!
=7×6×5! = 42×5!
8டுÚதுக்காட்டு
! ! !
n
9
1
10
1
11 + = எனில் n oன ேதிப்பு ்காண்க.
߶
9! !
1
10
1 + = !
n
11
9! !
1
10 9
1
# + = !
n
11
!9
1 1 10
1 : + D = !
n
11
Ch-2_TM.indd 50 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 57 of 240
4யற்>~EÝ 51
!9
1
10
11 # = !
n
11
n = !
!
9 10
11 11
#
#
= !
!
10
11 11 #
= !
!
10
11 10 11 # #
= 121.
8ண்aதå 2டிப்பணCக் Yகாள்ணககள்
Yப±க்கå 2டிப்பணCக் Yகாள்ணக
P1
P1 S1
P1 S2
P3 S1
P2 S1
P2 S2
P3 S2
S1
S1
S1
S2
S2
S2
P2
P3
ெடம். 2.1
Âனறு ¬லழவாயில்்களும், பவளிமயறுவதற்கு இரணடு வாயில்்களும் உள்ள விழா
ேணடெத்லத ்கருத்தில் ப்காள்மவாம். வரும் ஒரு நெர எத்தலன வ்களில் விழா ேணடெத்திற்கு
உள்மள பெனறு பவளிமயைலாம் எனெதற்்கான
விலடலயக் ்காணெது நேது மநாக்்கோகும்.
இநத ்கைக்கில், ேணடெத்தின Âனறு
¬லழவாயில்்கலள முலைமய P1, P2 ேற்றும் P3
எனக் ப்காள்மவாம். விழா ேணடெத்லத விட்டு
பவளிமயறும் வ்கலள S1 ேற்றும் S2 எனக்
ப்காள்மவாம்.
விழா ேணடெத்திற்கு வரும், ஒரு நெர
P1 அல்லது P2 அல்லது P3 எனை 9மதம் ஒரு
¬லழவாயில் வயா்க, 3 வ்களில் உள்மள
பெல்லலாம். ேணடெத்திற்குள் பெனைவுடன,
S1 அல்லது S2 எனை 9மதம் ஒரு வாயில்
வயா்க, (இரு வ்களில்) பவளிமயைலாம்.விழா
ேணடெத்திற்கு பெனறு பவளிமயறும் போத்த வ்களின எணணிக்ல்க 3 × 2 = 6 வ்கள்
மேற்்காணும் சூழ்நிலலப் மொனறு நலடமுலை வாழ்க்ல்கயில் ெல்வல்க ்கைக்கு்களின,
தீரவு ்காை, நாம் ெயனெடுத்தும் ப்காள்ல்கமய, பெருக்்கலின அடிப்ெலடக் ப்காள்ல்கயாகும்.
வணKயணL 2.1
ப்காடுக்்கப்ெட்ட இரு ெணி்களில் ஒனலை m வ்களிலும்
ேற்பைானலை n வ்களிலும் பெயயமுடியும் எனில், இரு ெணி்கலளயும்
ஒருஙம்க, பதாடரநது m × n வ்களில் பெயய முடியும் எனெமத பெருக்்கலின
அடிப்ெலடக் ப்காள்ல்க ஆகும்.
Ch-2_TM.indd 51 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 58 of 240
52 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
8டுÚதுக்காட்டு
‘NOTE’ எனை ஆஙகிலச பொல்லில் உள்ள நானகு எழுத்துக்்கலளக் ப்காணடு,
எழுத்துக்்கள் ணடும் வராதவாறு, அரத்தேற்ை அல்லது அரத்தம் உலடய வாரத்லத்கள் எத்தலன
உருவாக்்கலாம்"
߶
ப்காடுக்்கப்ெட்ட ஆஙகில வாரத்லத ‘NOTE’ oல் உள்ள நானகு எழுத்துக்்கலள,
ழ்்கணடவாறு நானகு ்காலியிடங்கலள ப்காணடு குறிப்மொம்
1 2 3 4
ெடம் 2.2
முதல் ்காலியிடத்லத, நானகு எழுத்துக்்கலள ப்காணடு, நானகு வ்களில் நிரப்ெலாம்.
எழுத்துக்்கலள ணடும் ஒருமுலை ெயனெடுத்த முடியாததால், இரணடாம் ்காலியிடத்லத 3
முலை்களிலும் Âனைாம் ்காலியிடத்லத இரணடு வ்களிலும், ்கலடசி இடத்லத ஒரு வயிலும்
நிரப்ெலாம். பெருக்்கலின அடிப்ெலடக் ப்காள்ல்கயினெடி உருவாக்்கப்ெடும் போத்த வாரத்லத்களின
எணணிக்ல்க 4321 # # # = 24 வாரத்லத்கள் ஆகும்.
8டுÚதுக்காட்டு
ஒáபவாரு குறிக்ம்காள் வினாவும் நானகு வாயப்பு்கலள பெற்றிருப்பின, நானகு
வினாக்்களுக்கு, போத்தம் எத்தலன வ்களில் விலடயளிக்்கலாம்"
߶
ஒáபவாரு வினாவிற்கும், 4 விலட்கள் உணடு, ஆதலால், ஒáபவாரு வினாலவயும் நானகு
வ்களில் விலடயளிக்்கலாம். எனமவ, நானகு வினாக்்களுக்கு = 4444 # # # =256 வ்களில்
விலடயளிக்்கலாம்
8டுÚதுக்காட்டு
இலக்்கங்கலள ணடும் ெயனெடுத்தாேல் எத்தலன Âனறு இலக்்க எண்கலள
உருவாக்்கலாம் "
߶
ஒரு Âனறு இலக்்க எணணின Âனறு இலக்்கங்கலள Âனறு ்காலியிடங்கலளக் ப்காணடு
குறிப்மொம்.
100வது இடம் 10வது இடம் ஒனைாவது இடம்
1 2 3
ெடம் 2.3
Ch-2_TM.indd 52 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 59 of 240
4யற்>~EÝ 53
எநத ஒரு Âனறிலக்்க எணலையும் பூசசியத்தில் பதாடங்க இயலாது. ஆதலால், நூைாவது
இலக்்கத்திலன 1லிருநது 9 வலர உள்ள இலக்்கங்கலள ெயனெடுத்தி 9 வ்களில் நிரப்ெலாம்.
இலக்்கங்கலள ணடும் ெயனெடுத்த இயலாது.ஆதலால் 10 வது இலக்்கத்திலன, 0 உட்ெட
தம் உள்ள இலக்்கங்கலள ப்காணடு 9 வ்களில் பூரத்தி பெயயலாம். இáவாமை ஒனைாவது
இலக்்கத்திலன 8 வ்களில் பூரத்தி பெயயலாம்.
பெருக்்கல் அடிப்ெலடக் ப்காள்ல்கப்ெடி, போத்த Âனறிலக்்க எண்களின எணணிக்ல்க
= 9#9#8 = 648 எண்கள் ஆகும்.
·ட்Cå 2டிப்பணCக் Yகாள்ணக
இக்ப்காள்ல்கலய விளக்குவதற்கு, ேற்றுபோரு சூழ்நிலலலயக் ்கருதுமவாம். ஒரு வகுப்பில்
10 ோைவர்களும், 8 ோைவி்களும் உள்ளனர. மேற்்கணட ோைவர்களின வகுப்ொசிரியர, அநத
வகுப்பின ொரொ்க ஒரு ோைவன அல்லது ஒரு ோைவிலய ஒரு விழாவிற்கு அப்ெ விரும்புகிைார.
எத்தலன வ்களில் இருொலரில் ஒருவலரத் மதரவு பெயது அப்ெலாம் எனெதற்்கான தீரலவக்
்காணமொம்.
ழ்்கணட இரு வ்களில் 9மதம் ஒனலை வகுப்ொசிரியர மதரவு பெயயலாம்.
(i) 10 ோைவர்களில் இருநது ஒருவலர ெத்து வ்களில் மதரநபதடுக்்கலாம் (அல்லது)
(ii) 8 ோைவி்களில் இருநது ஒருவலர எட்டு வ்களில் மதரநபதடுக்்கலாம்
10 ோைவர்களிலிருநது ஒருவலர 10 வ்களிலும், 8 ோைவி்களிலிருநது ஒருவலர 8
வ்களிலிருநதும் மதரநபதடுக்்கலாம். விழாவிற்கு ஒருவலர மதரநபதடுக்கும் போத்த வ்களின
எணணிக்ல்க 10+8 = 18 வ்கள்.
இáவல்க ்கைக்கு்கலள, தீரப்ெதற்்கான ப்காள்ல்க s·ட்டலின அடிப்ெலடக் ப்காள்ல்கt
எனப்ெடும்.
ப்காடுக்்கப்ெட்ட இரு ெணி்கலளத் தனித்தனியா்க, ொரெற்ை முலையில், முலைமய m, n
வ்களில் பெயது முடிக்்க முடியுோனால், இரணடு ெணி்கலளயும் (m+n) வ்களில் பெயது முடிக்்க
முடியும். இதுமவ ·ட்டலின அடிப்ெலடக் ப்காள்ல்க எனப்ெடும்.
வணKயணL 2.2
ப்காடுக்்கப்ெட்ட இரு ெணி்கலளத் தனித்தனியா்க, ொரெற்ை முலையில்,
முலைமய m, n வ்களில் பெயது முடிக்்க முடியுோனால், இரணடு
ெணி்கலளயும் (m+n) வ்களில் பெயது முடிக்்க முடியும். இதுமவ ·ட்டலின
அடிப்ெலடக் ப்காள்ல்க எனப்ெடும்.
Ch-2_TM.indd 53 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 60 of 240
54 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
8டுÚதுக்காட்டு
புத்த்க விற்ெலன ்கலடயில், 6 வணி்கவியல் புத்த்கமும், 5 ்கைக்குப்ெதிவியல் புத்த்கமும்
உள்ளன. புத்த்கம் வாங்க விரும்பும் ஒரு ோைவன புத்த்கங்களில் 9மதம் ஒனலை எத்தலன
வ்களில் வாங்கலாம்"
߶
6 வணி்கவியல் புத்த்கங்களில் ஒனலை 6 வ்களில் வாங்கலாம்.
5 ்கைக்குப் ெதிவியல் புத்த்கங்களில் ஒனலை 5 வ்களில் வாங்கலாம். ·ட்டலின
அடிப்ெலடக் ப்காள்ல்கெடி இáவிரு ொடபுத்த்கங்களில் 9மதம் ஒனலை 5+6=11 வ்களில்
வாங்கலாம்.
பயிற்z
1. ! ! !
x
6
1
7
1
8 + = எனில் x- ன ேதிப்லெக் ்காண்க
2. n = 5 ேற்றும் r = 2 எம்பொழுது !( )!
!
r n r
n
- - ன ேதிப்லெக் ்காண்க.
3. If (n+2)! = 60[(n–1)!], எனில் n - ன ேதிப்லெக் ்காண்க.
4. 0 முதல் 9 வலர உள்ள இலக்்கங்கலளப் ெயனெடுத்தி 67 எனை எணணில் பதாடஙகுோறு
எநத இலக்்கமும் ஒரு தடலவக்கு மேல் திரும்ெ மதானைாேல், எத்தலன 5 இலக்்க
பதாலலமெசி எண்கலள உருவாக்்க முடியும்"?
5. 5, 6, 7, 8 ேற்றும் 9 எனை இலக்்கங்கலளக் ப்காணடு. இலக்்கங்கள் திரும்ெ வராதவாறு,
1000க்கும் குலைவான எத்தலன எண்கலள உருவாக்்கலாம்"
வ
ண@ மாற்LÕகளிå வணKயணL
ēĢįĪIJıĞıĦĬīİ
ஓர உதாரைத்திற்கு, “ஆப்பிள், திராட்லெ, ேற்றும் வாலழப்ெழங்கள்” ஆகிய ்கனி்களால்
உருவாக்்கப்ெட்ட “்கனித்துணடு்களின ்கலலவ” (Fruit salad) எடுத்துக்ப்காள்மவாம்.
்கனித்துணடு்களின ்கலலவயில் ெழத்துணடு்கள் எநத வரிலெயில் மெரக்்கப்ெடுகினைன எனெது
முக்கியேல்ல. எநத வரிலெயில் இப்ெழத்துணடு்கள் மெரக்்கப்ெட்டாலும் நாம் ஒமர ோதிரி சுலவயுள்ள
்கனித்துணடு்களின ்கலலவலயமய பெறுமவாம்.
ஆனால், எணகுறிடு 395 உள்ள ஒரு எண பூட்லட (number lock) எடுத்துக்
ப்காள்மவாம்.எணகுறிட்லட Âனறு முலைக்கு மேல் தவைா்க முயற்சித்தால், பூட்டானது
நிரநதரோ்க பூட்டிக்ப்காள்ளும்.இசசூழ்நிலலயில், 395 எனை எணகுறிட்டின வரிலெ மி்கவும்
முக்கியோனது.
Ch-2_TM.indd 54 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 61 of 240
4யற்>~EÝ 55
395 எனை குறிட்டிற்கு ெதிலா்க, 3 – 5 – 9 அல்லது 9-5-3 எனறு இலக்்கங்களின வரிலெலய
ோற்றி உள்டு பெயதால் பூட்லடத் திைக்்க முடியாது. எணகுறிட்லட மி்கச ெரியா்க 3 - 9 - 5 என
உள்டு பெயதால் ேட்டுமே, எண பூட்லட திைக்்க முடியும்.
நலடமுலை வாழ்க்ல்கயில், மேற்்கணட எடுத்துக்்காட்டு்கலள மொனை சூழ்நிலல்கலள
எதிரப்காள்ள வரிலெோற்ைங்கள் (ĭĢįĪIJıĞıĦĬī) ெற்றி அறிநதுப்காள்மவாம்.
வணKயணL 2.3
n பொருட்்களிலிருநது r பொருட்்கலள மதரநபதடுத்து வரிலெப்ெடுத்தும்
விதங்களின எணணிக்ல்கலய n பொருட்்களிலிருநது ஓமர மநரத்தில்
r பொருட்்கலள மதரநபதடுக்கும் வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க
எனலாம்.
எடுத்துக்்காட்டா்க, 1, 2, 3 எனை Âனறு இலக்்கங்கலளக்ப்காணடு உருவாக்்கப்ெடும் Âனறு
இலக்்க எண்களின எணணிக்ல்க 6 ஆகும். அáவாறு உருவாக்்கப்ெட்ட Âனறிலக்்க எண்கள்
பினவருோறு
123, 132, 231, 213, 312, 321
குறிடு 0 < r < n, எோறு உள்ள n பொருட்்களிலிருநது r பொருட்்கலள மதரநபதடுத்து
வரிலெப்ெடுத்தும் வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க P(n, r (அல்லது ) nPr என
குறிக்்கப்ெடுகிைது.
நிரூெைமினறி ழ்்கணட மதற்ைத்லத நாம் பெறுகிமைாம்.
மதற்ைம் : npr = ( )!
!
n r
n
-
8டுÚதுக்காட்டு
5P3 ேற்றும் P(8, 5) ஆகியவற்றின ேதிப்பு ்காண்க
߶
5P3 = !
!
!
!
5 3
5
2
5 - = ] g = 60.
P(8, 5) = 8P5
= !
!
8 5
8
] g -
= !
!
3
8
= !
!
3
876543 ××××× = 6720
Ch-2_TM.indd 55 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 62 of 240
56 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
முடி¶கள்
(i) 0! = 1
(ii) np0 = !
!
!
!
n
n
n
n
0 1 - = = ] g
(iii) np1 = !
!
!
!
n
n
n
n n
n 1 1
1
- = -
- = ] ]
]
g g
g
(iv) npn = !
!
!
! ! n n
n n
n - 0 = = ] g
(v) npr
= n(n–1) (n–2) ... [n–(r–1)]
8டுÚதுக்காட்டு
ேதிப்பு ்காண்க : (i) 8P3 (ii) 5P4
߶
(i) 8P3 = 8 7 # # 6 = 336.
(ii) 5P4 = 5432 # # # = 120.
8டுÚதுக்காட்டு
சுவற்றின துள்ள 5 ஆணி்களில் 7 ெடங்கலள எத்தலன வ்களில் பொருத்தலாம் "
߶
சுவற்றின துள்ள 5 ஆணி்களில் 7 ெடங்கலள பொருத்துவது எனெது, 9ழு ெடங்களில் ஒமர
மநரத்தில் :நது ெடங்கலள மதரநபதடுப்ெதற்்கான வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க
= 7P5 = !
!
7 5
7
] g - = 2520 வ்கள்.
8டுÚதுக்காட்டு
“LOGARITHMS” எனை வாரத்லதயில் உள்ள எழுத்துக்்கலளப் ெயனெடுத்தி,
(எழுத்துக்்கலள ணடும் இடம்பெைாதவாறு அரத்தம் உள்ள அல்லது அரத்தேற்ை) 4 எழுத்து
வாரத்லத்கள் எத்தலன அலேக்்கலாம் "
߶
LOGARITHMS எனை வாரத்லதயில் உள்ள எழுத்துக்்களின எணணிக்ல்க 10
எனமவ n = 10
4 எழுத்து வாரத்லத்கலள நாம் ்காைமவணடி உள்ளதால், r = 4
Ch-2_TM.indd 56 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 63 of 240
4யற்>~EÝ 57
எனமவ மதலவயான வாரத்லத்கள் npr
= 10 p4
= 10 × 9 × 8 × 7
= 5040.
8டுÚதுக்காட்டு
nPr
= 360, எனில் n, r oன ேதிப்பு்கலளக் ்காண்க
߶
nPr
= 360 = 36 × 10
= 3 × 3 × 4 × 5 × 2
= 6 × 5 × 4 × 3 = 6P4
எனமவ n = 6 ேற்றும் r = 4.
ண்டும் ண்டும் வ±xåL Yபா±ட்களிå வ
ண@ மாற்LÕகள்
n பவáமவறு பொருட்்களிலிருநது ஒமர மநரத்தில் r பொருட்்களிலன மதரநபதடுக்கும்மொது
பொருட்்கலள ணடும் இடம்பெை அேதிக்கும்பொழுது உருவாகும் வரிலெ ோற்ைங்களின
எணணிக்ல்க nr ஆகும்
8டுÚதுக்காட்டு
1, 2, 3, ...... 9, வலரயுள்ள ஒனெது இலக்்கங்கலளக் ப்காணடு, இலக்்கங்கள் திரும்ெ
இடம்பெறுோறு எத்தலன Âனறிலக்்க எண்கள் அலேக்்கலாம்"
߶
இஙகு இலக்்கங்களின எணணிக்ல்க 9
எனமவ n = 9 ேற்றும் r = 3
மதலவப்ெடும் Âனறிலக்்க எண்கள் = nr
= 93 = 729 எண்கள்
பைமுணL வ±ம் Yவáமவறு Yபா±ட்களிå வ
ண@ மாற்LÕகள்
n பொருட்்களில் p பொருட்்கள் ஒருவல்கயா்கவும், q பொருட்்கள் ேற்பைாரு வல்கயா்கவும்
உள்ளன எனக் ப்காள்மவாம். இஙகுp + q = n எனில் n பொருட்்களிலிருநது ஓமர மநரத்தில்
அலனத்லதயும் மதரநபதடுக்கும்மொது உருவாகும் வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க ! !
!
p q
n
Ch-2_TM.indd 57 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 64 of 240
58 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
பொதுவா்க n பொருட்்களில் p1 பொருட்்கள் முதல் வல்கயா்கவும், p2 பொருள்்கள்
இரணடாம் வல்கயா்கவும், p3 பொருள்்கள் Âனைாம் வல்கயா்கவும், u pk பொருள்்கள் kth
வல்கயா்கவும் இருப்ெதா்க ப்காள்மவாம். மேலும் p1 + p2 + ...+pk = n. எனில், அலனத்து
பொருள்்கலளயும் மதரநபதடுப்ெதன Âலம் உருவாகும் வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க
! ! ... !
!
p p p
n
1 2 k
.
8டுÚதுக்காட்டு
(i) MISSISSIPPI (ii) MATHEMATICS எனை வாரத்லத்களில் உள்ள அலனத்து
எழுத்துக்்கலளயும் ெயனெடுத்தி, எத்தலன வாரத்லத்கள் அலேக்்கலாம் "
߶
(i) MISSISSIPPI எனை வாரத்லதயில் உள்ள எழுத்துக்்களின எணணிக்ல்க = 11
இநத வாரத்லதயில்
M எனை எழுத்து ஒருமுலையும்
I எனை எழுத்து 4 முலையும்
S எனை எழுத்து 4 முலையும்
P எனை எழுத்து 2 முலையும் இடம்பெறுகிைது.
அலேக்்கப்ெடும் வாரத்லத்களின எணணிக்ல்க n = ! ! !
!
4 4 2
11
(ii) MATHEMATICS எனை வாரத்லதயில் உள்ள எழுத்துக்்களின எணணிக்ல்க = 11
M எனை எழுத்து 2 முலையும்
T எனை எழுத்து 2 முலையும்
A எனை எழுத்து 2 முலையும்
எனமவ அலனத்து எழுத்துக்்கலளயும் ெயனெடுத்தி அலேக்்கப்ெடும் வாரத்லத்களின
எணணிக்ல்க = !!!
!
222
11
வட்C வ
ண@ மாற்LÕகள்
ĆĦįĠIJĩĞį ĭĢįĪIJıĞıĦĬī
பெனை பிரிவில், மநரம்காட்டின தான n பொருள்்களின வரிலெ ோற்ைங்கலள ெற்றிய
விவரங்கலள ெயினமைாம். அலவ்கள் மநரிய வரிலெ ோற்ைங்கள் என அலழக்்கப்ெடுகினைது.
தற்பொழுது n! பொருட்்களின, வட்டத்தின தான வரிலெ ோற்ைங்கலளக் ்காணமொம். இலவ
வட்ட வரிலெ ோற்ைம் எனப்ெடுகிைது.
A, B, C, D எனை நானகு எழுத்துக்்கலள ்கருதுமவாம். இநத நானகு எழுத்துக்்களின மநர
ம்காட்டின தான வரிலெோற்ைங்களின எணணிக்ல்க 4! ஆகும். இநத 4! வரிலெோற்ைங்களில்
ழ்்கணட மநரம்காட்டின தான நானகு வரிலெப்ெடுத்துதலலக் ்கருது்க, ABCD, BCDA, CDAB,
Ch-2_TM.indd 58 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 65 of 240
4யற்>~EÝ 59
DABC எனெனவற்லை வட்டத்தின து வரிலெப்ெடுத்தினால் இலவ அலனத்தும் ஒமர வரிலெப்
ெடுத்துதலல குறிக்கும் எனெலத ழ்்கணட ெடத்தினÂலம் ்காைலாம்.
ெடம். 2.4
C(–g, –f)
A
C
D B
C(–g, –f)
B
D
A C
C(–g, –f)
C
A
B D
C(–g, –f)
D
B
C A
எனமவ, ‘4’ பொருள்்களின வட்ட வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க ! ! 4
4 = 3
பொதுவா்க, n பவáமவறு பொருள்்களின அலனத்து பொருள்்கலளயும் ஒமர மநரத்தில்
எடுத்துக்ப்காணடால், அலேக்்கப்ெடும் வட்ட வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க = (n–1)!
ஆகும்
குறிப்பு
வட்ட வரிலெ ோற்ைங்கள் வலசசுற்று, இடசசுற்று மவறுொடினறி இருப்பின பொருள்்களின
வட்ட வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க n !
2
] g - 1 ஆகும்.
8டுÚதுக்காட்டு
8 ோைவர்கலள எத்தலன வ்களில்
(i) மநரக்ம்காட்டின து (ii) வட்டவடிவில் வரிலெப்ெடுத்தலாம்.
߶
(i) 8 ோைவர்களின மநரம்காட்டின தான வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க
= 8P8 = 8! வ்கள்
(ii) ோைவர்கள், வட்டத்தின தான வரிலெ ெடுத்தும்மொது வரிலெ ோற்ைங்களின
எணணிக்ல்க (8–1)! = 7 (இஙகு வலசசுற்றுக்கும், இடசசுற்றுக்கும் மவறுொடு ்காை
இயலும்)
8டுÚதுக்காட்டு
ஒமர ோதிரியான 10 ொவி்கலள, ஒரு வலளயத்தில் எத்தலன வல்க்களில்
வரிலெப்ெடுத்தலாம்"
Ch-2_TM.indd 59 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 66 of 240
60 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
߶
ொவி்கள் அலனத்தும் ஒமர ோதிரியானது. ஆதலால் வலளயத்தில் வரிலெப்ெடுத்தும்
பொழுது, வலசசுற்றுக்கும் இடசசுற்றிற்கும் மவறுொடு்கலள ்காை இயலாது. எனமவ, ொவி்களின
வட்ட வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க n ! ! !
2
1
2
10 1
2
- 9 = - = ] ] g g .
8டுÚதுக்காட்டு
ஆஙகில அ்கராதியில் உள்ள ‘RANK’ எனை வாரத்லதயின தரம் ்காண்க.
2கKாயில் 6ள்N
வாßÚணதயிå தKம்
ப்காடுக்்கப்ெட்ட ஒரு ஆஙகில
வாரத்லதயின, தரம் ்காணெதற்கு,
ஆஙகில வாரத்லதயில்
உள்ள எழுத்துக்்கலள அ்கர
வரிலெயில் வரிலெப்ெடுத்திக்
ப்காள்ளமவணடும்.
தரம் ்காணும்பொழுது
உருவாக்்கப்ெடும் வாரத்லத்கள்
அரத்தம் உள்ளதா்கமவா,
அரத்தேற்ைதா்கமவா இருக்்கலாம்
߶s
‘RANK’ எனை ஆஙகில வாரத்லதலயக் ப்காணடு
உருவாக்்கப்ெடும், வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க 4!
இநத வாரத்லதயில் உள்ள எழுத்துக்்கலள
அ்கர வரிலெயில் A, K, N, R என வரிலெப்ெடுத்திக் ப்காள்ள
மவணடும்.
A-:க் ப்காணடு பதாடஙகும் வாரத்லத்களின
எணணிக்ல்க=3!=6
K-:க் ப்காணடு பதாடஙகும் வாரத்லத்களின
எணணிக்ல்க =3!=6
N-:க் ப்காணடு பதாடஙகும் வாரத்லத்களின
எணணிக்ல்க =3!=6
RAKஎனத் பதாடஙகும் வாரத்லத்களின எணணிக்ல்க =1! = 1
RANK எனை வாரத்லத =0! = 1
` ·ட்டலின அடிப்ெலடக் ப்காள்ல்கப்ெடி RANK எனை வாரத்லதயின தரம்
6 + 6 + 6 + 1+1 = 20
பயிற்z
1. nP4 = 12(nP2), எனில், n -ன ேதிப்பு ்காண்க,
2. இரணடு சிறுமி்கள் மெரநது அேராதவாறு, 5 சிறுவர்கள் ேற்றும் 3 சிறுமி்கலள ஒரு
வரிலெயில் எத்தலன வ்களில் அேரலவக்்கலாம் "
Ch-2_TM.indd 60 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 67 of 240
4யற்>~EÝ 61
3. 0 முதல் 9 வலர உள்ள 10 இலக்்கங்கலளக் ப்காணடு, 35 எனை எணணில் பதாடஙகும்,
6 இலக்்க பதாலலமெசி எண்களில், இலக்்கங்கள் ணடும் இடம்பெைாதவாறு, எத்தலன
எண்கள் அலேக்்கலாம்"
4. “ASSASSINATION” எனை வாரத்லதயில் உள்ள அலனத்து எழுத்துக்்கலளயும்
ெயனெடுத்தி எத்தலன வாரத்லத்கலள உருவாக்்கலாம் "
5. (a) ஒமர வல்கயான 8 ேணி்கலள எத்தலன வ்களில், ஆெரை ோலலயில் ம்காரக்்கலாம்"
(b) 8 சிறுவர்கலளக் ப்காணடு எத்தலன வலளயங்கலள உருவாக்்கலாம்"
6. ஆஙகில அ்கராதியில் ‘CHAT’ எனை வாரத்லதயின தரத்லதக் ்காண்க
ம@߶கள்
ĆĬĪğĦīĞıĦĬīİ
மெரவு்கள் எனெது மதரநபதடுக்கும் வரிலெலய ்கைக்கில் ப்காள்ளாேல் பொருட்்கலள ஒரு
பதாகுப்பிலிருநது மதரநபதடுப்ெதாகும். அதாவது பொருட்்களின வரிலெலய பொருட்ெடுத்தாேல்
பொருட்்கலள மதரநபதடுக்கும் பெயலாகும். நானகு நெர்கள் A, B, C ேற்றும் D என்க. இவர்களில்
A ேற்றும் ą லயத் மதரநபதடுப்ெதும், B ேற்றும் A லயத் மதரநபதடுப்ெதும் இரு மவறு மதரவா்க
்கருத முடியாது. மதரவு பெயயப்ெடும் நெர்களின வரிலெ முக்கியேல்ல. ப்காடுக்்கப்ெட்ட நானகு
நெர்களில் 2 அலுவல்க ஊயர்கலள 6 வல்க்களில் மதரநபதடுக்்கலாம். அலவ AB, AC, AD,
BC, BD, CD எனெனவாகும். மேற்்கணடவாறு பெயல்ெடுத்தப்ெடும் ெல்மவறு மதரவு்களில்
பெயல்முடிவு்கள் மெரவு்கள் எனப்ெடும். அதாவது, 4C2 = 1 2
4 3
×
× = 6
திரும்ெத் திரும்ெ வராத ெல்மவறு மதரவு்களின முலை எனெது மெரவு்கள் என வழங்கப்ெடும்
வணKயணL 2.4
மெரவு்கள் எனெது n பொருள்்களிலிருநது r பொருள்்கலள ஒமர மநரத்தில் திரும்ெத் திரும்ெ
வராேல் மதரநபதடுக்கும் முலையாகும்.
n பொருள்்களிலிருநது r பொருள்்கலள nCr
வ்களில் மதரநது எடுக்்கலாம். இஙகு n ≠ 0
ஆனால் r = 0 ஆ்க இருக்்கலாம்.
nCr
oன ேதிப்பு
nCr
= ! !
!
r n r
n
] g - , 0 < r < n
உதாரைத்திற்கு 5 ெநது்களில் இருநது 3 ெநது்கலள 5C3 வ்களில் மதரநபதடுக்்கலாம்.
5C3 = ! !
!
! !
!
3 5 3
5
3 2
5
1 2 3
543
× ×
× ×
- = = ] b g l = 10 வ்களில் மதரநபதடுக்்கலாம்.
Ch-2_TM.indd 61 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 68 of 240
62 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
8டுÚதுக்காட்டு
வரிலெ ோற்ைங்கள் எனெது ெட்டியல்
ெடுத்துவது (வரிலெ அவசியம்)
மெரவு்கள் எனெது குழுவிற்்கானது
(வரிலெ அவசியம் அற்ைது))
8C2 oன ேதிப்பு ்காண்க
߶
8C2 = 2 1
8 7
×
× = 28
பண்புகள்
(i) nC0 = ncn = 1.
(ii) nC1 = n.
(iii) nC2 = !
n n
2
] g - 1
(iv) nCx = nCy ,
எனில் x = y அல்லது x + y = n.
(v) nCr
= nCn–r.
(vi) nCr
+ nCr–1 = (n + 1)Cr .
(vii) nCr
= r!
npr
8டுÚதுக்காட்டு
nC4 = nC6 எனில் 12Cn oன ேதிப்பு ்காண்க.
߶
nCx = nCy , எனில் x + y = n எனை ெணபினெடி
nC4 = nC6 எனில்,
n = 4 + 6 = 10
12Cn = 12C10
= 12C2
= 1 2
12 11
×
× = 66
8டுÚதுக்காட்டு
nPr
= 720 ேற்றும் nCr
= 120 எனில் r oன ேதிப்பு ்காண்க.
Ch-2_TM.indd 62 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 70 of 240
64 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
߶
வினாத்தாளில் ெகுதி (அ) oவிலிருநது 8 வினாக்்கலள 10C8 வ்களிலும். ெகுதி (ஆ)-வில்
உள்ள 10 வினாக்்களிலிருநது 5 வினாக்்கலள 10C5 வ்களிலும் மதரநபதடுக்்கலாம். எனமவ
பெருக்்கல் ப்காள்ல்க விதிப்ெடி போத்த மதரவு்களின எணணிக்ல்க
10C8 × 10C5 = 10C2 × 10C5
= 2 1
10 9
×
×
×
× ×
543 2 1
10 9 8 7 6
× × × ×
× × = 11340 வ்கள்.
8டுÚதுக்காட்டு
4 ெநது சொளர்கள், 2 இலக்கு நிலல ்காப்ொளர்கள் (wicket keeper) உள்ளடக்கிய 16
கிரிக்ப்கட் விலளயாட்டு ரர்கள் குழுவிலிருநது குலைநதது 11 மெர அடஙகிய கிரிக்ப்கட் அணி
உருவாக்்கப்ெடுகிைது. குலைநதது 3 ெநது சொளர்கள் ேற்றும் குலைநதது ஒரு இலக்கு நிலல
்காப்ொளர ப்காணட 11 மெர அடஙகிய கிரிக்ப்கட் குழுலவ எத்தலன வ்களில் அலேக்்கலாம்"
߶
11 விலளயாட்டு ரர்கள் அடஙகிய கிரிக்ப்கட் குழுலவ ழ்க்்கணட வ்களில் அலேக்்கலாம்.
(i) 3 ெநது சொளர்கள், 1 இலக்கு நிலல ்காப்ொளர ேற்றும் 7 9லனய விலளயாட்டு
ரர்கள் அடஙகிய குழு
4 2 C C 3 1 × ×10C7 வ்களில் அலேக்்கலாம்
4 2 C C 3 1 × ×10C7 = 4 2 C C 1 1 × ×10C3
= 960 வ்களில் அலேக்்கலாம்
(ii) 3 ெநது சொளர்கள், 2 இலக்கு நிலல ்காப்ொளர்கள் ேற்றும் 6 9லனய விலளயாட்டு
ரர்கள் அடஙகிய குழு
4 2 C C 1 2 × ×10C6
4 2 C C 1 2 × ×10C6 = 4 2 C C 1 2 × ×10C4
= 840 வ்களில் அலேக்்கலாம்
(iii) 4 ெநது சொளர்கள், 1 இலக்கு நிலல ்காப்ொளர ேற்றும் 6 9லனய விலளயாட்டு
ரர்கள் அடஙகிய குழு 4 2 C C 4 1 # # 10C6
4 2 C C 4 1 # # 10C4 = 420 வ்களில் அலேக்்கலாம்
(iv) 4 ெநது சொளர்கள், 2 இலக்கு நிலல ்காப்ொளர ேற்றும் 5 9லனய விலளயாட்டு
ரர்கள் அடஙகிய குழு
4 2 C C 4 2 # # 10C5
Ch-2_TM.indd 64 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 71 of 240
4யற்>~EÝ 65
4 2 C C 4 2 # # 10C5 = 252 வ்களில் அலேக்்கலாம்.
·ட்டலின எணணுதல் ப்காள்ல்கப்ெடி, கிரிக்ப்கட் குழுலவ அலேக்கும் போத்த வ்களின
எணணிக்ல்க = 960+840+420+ 252 = 2472 வ்கள்.
8டுÚதுக்காட்டு
4] g nC2 =] g n + 2 C3 , எனில் n o ன ேதிப்லெ ்காண்க.
߶
4( ) nC2 = ] g n + 2 C3
n n( ) 4 1 2
1
#
- =
n n n
1 2 3
2 1
# #
] ] + + g g] g
12] g n - 1 = (n+2) (n+1)
12] g n - 1 = n n3 2 2 ^ h + +
n n9 14 2 - + = 0
] ]g g n n - - 2 7 = 0 & n n = = 2 7 ,
8டுÚதுக்காட்டு
] g n + 2 Cn = 45 எனில் n o ன ேதிப்லெ ்காண்க.
߶
] g n + 2 Cn = 45
] g n + 2 Cn n + -2 = 45
] g n + 2 C2 = 45
( ) n n
2
+ 2 ] g + 1
= 45
n n3 88 2 + - = 0
] ] n n + - 11g g8 = 0
n = –11, 8
n, குலை எணைா்க இருக்்க முடியாது.
` n = 8
Ch-2_TM.indd 65 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 72 of 240
66 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
S t e p 4
படி 1
படி 2
பெயல்ொட்டிற்்கான உரலி :
https://ggbm.at/qKj9gSTG (or) scan the QR Code
4ணையÖ Y@யல்பாடு
4றுயில் xணCக்கப்Yபறும் பCம்
படி – 1
ப்காடுக்்கப்ெட்டிருக்கும் உரலி விலரவுக்குறிலடப்
ெயனெடுத்தி GĢĬGĢğįĞ ெக்்கத்திற்குச பெல்்க..
“11th BUSINESS MATHS” எம் GeoGebra
ெணிப் புத்த்கத்தில் “Combination Exercise”
க்்கான ெணித்தாலள எடுத்துக் ப்காள்ளவும்.
படி - 2
ங்களா்க தீரலவக் ்கணடு பிடித்து “Show solution” பெட்டிலயச பொடுக்கி மழ ்காணும்
தீரலவச ெரி ொரக்்கவும். மேலும் “Short method” பெட்டிலயச பொடுக்கி எளிய முலையிலனக்
்காண்க.
Ch-2_TM.indd 66 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 73 of 240
4யற்>~EÝ 67
பயிற்z
1. nPr
= 1680, nCr
= 70 எனில் n ேற்றும் r oன ேதிப்லெக் ்காண்க.
2. 8C4 + 8C3 = 9C4 எனெலத ெரிொர.
3. வட்டத்தின துள்ள 21 புள்ளி்கள் வயா்க எத்தலன நாண்கள் வலரயலாம்"
4. ஓர அறும்காைத்தின முலனப்புள்ளி்கலள இலைத்து எத்தலன முக்ம்காைங்கள்
வலரயலாம்"
5. 7 ஆஙகில பேயபயழுத்து்கள் ேற்றும் 4 ஆஙகில உயிபரழுத்து்களிலிருநது, 3
பேயபயழுத்து்கள் ேற்றும் இரணடு உயிபரழுத்து்கலள மதரநபதடுத்து, எத்தலன
வாரத்லத்கள் உருவாக்்கலாம்"
6. 4 ெ்கலட்கள் உருட்டப்ெடுகிைது எனில் குலைநதெட்ெம் ஒரு ெ்கலடயாவது 2 எனை எண
மதானறுோறு கிலடக்்கபெறும் அலனத்துவிதோன ொத்தியக்·று்களின எணணிக்ல்க
யாது"
7. ஒரு விருநதில் 18 விருநதினர்கள் ்கலநது ப்காள்கிைார்கள். ஒரு ணட மேலெயில்
இருபுைமும், ெக்்கத்திற்கு 9 மெர தம் அேரலவக்்கப்ெடுகிைார்கள், அவர்களில் குறிப்பிட்ட 3
மெர ஒரு குறிப்பிட்ட ெக்்கத்திலும், மேலும் இரணடு மெர மேலெயின ேற்பைாரு ெக்்கத்திலும்
அேர விரும்புகிைார்கள் எனில் எத்தலன வ்களில் விருநதினர்கலள அேர லவக்்கலாம்"
8. ஒரு ெலம்காைம் 44 Âலல விட்டங்கலளப் பெற்றிருப்பின அப்ெலம்காைத்தின
ெக்்கங்களின எணணிக்ல்கலய ்கணடுபிடி"
9. 15 மெர அடஙகிய கிரிக்ப்கட் விலளயாட்டு ரர்கள் குழுவில் இருநது 11 மெர அடஙகிய
குழுலவ ழ்க்்கணடவாறு எத்தலன வ்களில் மதரவு பெயயலாம்"
(i) ரர்கலள மதரவு பெயவதில் எநத வித நிெநதலன்களும் இல்லல.
(ii) ஒரு குறிப்பிட்ட ரர எப்பொழுதும் குழுவில் இடம் பெறுவார.
(iii) ஒரு குறிப்பிட்ட ரர எப்பொழுதும் குழுவில் இடம் பெைோட்டார.
10. 6 ஆண்கள் ேற்றும் 4 பெண்களிலிருநது 5 மெர அடஙகிய குழு, ழ்க்்கணடவாறு
(i) குழுவில் குலைநதது இரணடு பெண்கள் இடம் பெறுோறும்
(ii) குழுவில் அதி்கெட்ெம் இரணடு பெண்கள் இடம் பெறுோறும்
எத்தலன வல்க்களில் அலேக்்கலாம்.
Ch-2_TM.indd 67 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 74 of 240
68 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
கணிதÚ YதாகுÚதறிதல்
ĐĞıĥĢĪĞıĦĠĞĩ ĦīġIJĠıĦĬī
n எனை மில்க முழுக்்கள் எண்கலளக் ப்காணடு அலேக்கும் ெல்மவறு ்கணிதக் ·ற்றிலன
நிரூபிக்்கப் ெயனெடும் ஒரு உத்திமய ்கணிதத் பதாகுத்தறிதல் எனப்ெடும்.
இயற்்கணிதம், வடிவியல், ேற்றும் ெகுப்ொயவு ஆகியவற்றின ·ட்டுதலின உணலே
தனலேலய நிறுவ, ்கணித்தபதாகுத்தறிதல் முலை ெயனெடுகிைது.
கணிதÚ YதாகுÚதறிதå முதåணமக் Yகாள்ணக
ஒáபவாரு இயல் எண n o க்கும் தகுநத ஒரு ·ற்றிலன P(n) என்க.
Ħ
3Kம்பநிணை: n =1 எம்பொழுது P(1) எனெது உணலேயாகும்.
(9மதம் நிலலயான இயல் எண்களுக்கும் உணலேயாகும்) ேற்றும்
ĦĦ
YதாகுÚதறிதல் நிணை: n = k எம்பொழுது ·ற்று உணலேபயனில் (இஙகு k
எனெது ஒரு குறிப்பிட்ட, ஆனால் தனனிசலெயான இயல் எண)
n = k + 1 எனெதற்கும் இக்·ற்று உணலேயாகும்.
அதாவது, ·ற்று P(k) உணலே எனில் P(k+1) ம் உணலேயா்க இருக்கும்.
ஆ்கமவ P(n) எனெது அலனத்து இயல் எண்களுக்கும் உணலேயாகும் எனெது
்கணிதத் பதாகுத்தறிதலின முதனலேக் ப்காள்ல்கயாகும்.
8டுÚதுக்காட்டு
்கணிதத் பதாகுத்தறிதல் முலையில் 1 + 2 + 3 +... + n =
n n
2
] g + 1 , (அலனத்துn N ! )
என நிறுவு்க.
߶
P(n) எனை ·ற்று ழ்க்்கணடவாறு வலரயறுக்்கப்ெடுகிைது
n N ! க்கு P(n) = 1+2+3+..........n =
n n
2
] g + 1 என்க.
படி 1: n =1 என பிரதியிடவும்
P(1) ன LHS = 1
P(1) ன RHS = 2
1] g 1 1 +
= 1
LHS = RHS
` P(1) எனெது உணலேயாகும்.
படி 2: n = k எனெதற்கு மேற்்கணட·ற்று உணலே என்க.
Ch-2_TM.indd 68 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 75 of 240
4யற்>~EÝ 69
i.e., P(k) எனெது உணலேயாகும்.
P(k) = 1 + 2 + 3+... + k =
k k
2
] g + 1
எனெது உணலேயாகும்.
படி 3: P(k + 1) எனெது உணலேபயன நிரூபிக்்க
LHS = P(k + 1) = 1+2+3+..........+ k + (k +1)
= P(k) + k +1
=
k k
2
] g + 1
+ k +1
=
k k k
2
] ] + 1g g + 2 + 1
=
k k
2
] ]g g + + 1 2 = RHS
` P(k +1) எனெது உணலேயாகும்
இáவாைா்க P(k) எனெது உணலேபயனில் P(k +1) எனெது உணலேயாகும்.
` P(n) எனெது அலனத்து n N ! க்கும் உணலேயாகும்.
ஆ்கமவ 1+ 2 + 3 +... +n = , n n n N 2
1
! ] g +
எனை ·ற்று உணலேயாகும்.
8டுÚதுக்காட்டு
்கணிதத் பதாகுத்தறிதல் Âலம் 1 + 3 + 5 ...+ (2n–1) = n2 (அலனத்து n N ! ) என நிரூபி.
߶
P(n) 1 + 3+ 5 ...+ (2n–1) = n2 என்க.
n = 1 எம் பொழுது
P(1) ன LHS = 1
P(1) ன RHS = 12
= 1
LHS = RHS
` P(1) உணலேயாகும்.
P(k) எனெதற்கு மேற்்கணட·ற்று உணலே என்க.
i.e., P(k) = 1 + 3 + 5 ... + (2k–1) = k2
எனமவ P(k + 1) எனெது உணலே என நிரூபிக்்க மவணடும்.
Ch-2_TM.indd 69 19/04/18 6:57 PM
www.tntextbooks.in
Page 76 of 240
70 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
P(k + 1) ன LHS= 1 + 3+ 5 ...+(2k–1) + (2k+1) = P]kg+]2 1 k + g
= k k2 1 2 + +
= k 1 2 ] g + = RHS
P(k) உணலேபயனில் P(k + 1) உணலேயாகும்.
` பதாகுத்தறிதலின விதிப்ெடி n ன எல்லா இயல் ேதிப்பிற்கும் P(n) உணலே ஆகும்.
8டுÚதுக்காட்டு
்கணிதத் பதாகுத்தறிதலின ெடி 12+22+32+..........+ n2 =
n n n
6
] ] + + 1 2 g g1
(அலனத்து
n N ! ) என நிறுவு்க.
߶
P(n) எனெது குறிக்கும் ·ற்று : 12 + 22 + 32 +... +n2=
n n n
6
] ] + + 1 2 g g1
என்க
n = 1 என பிரதியிட
P(1) ன LHS = 12
= 1
P(1) ன RHS = 6
1] ] 1 12 1 + + g g
= 1
LHS = RHS
` P(1) உணலேயாகும்.
P(k) எனெலத உணலே என எடுத்துக்ப்காள்்க
P(k) = 12 + 22 + 32 +... +k2 =
k k k
6
] ] + + 1 2 g g1
P(k + 1) ன LHS = 12 + 22+ 32+... + k2 + (k+1)2 = p k k 1 2 ] g+] + g
=
k k k k 6
1 2 1 1 + + 2 + + ] ] ] g g g
=
k k k k
6
1 2 1 6 1 2 ] ] + + g g+ ] + g
=
k k k k
6
] + 1g6 ] ] 2 1 + g g + 6 + 1 @
=
k k k
6
1 2 7 6 2 ] + g^ + + h
=
k k k
6
] ] + + 1 2 g g]2 3 + g = RHS
Ch-2_TM.indd 70 19/04/18 6:58 PM
www.tntextbooks.in
Page 77 of 240
4யற்>~EÝ 71
` P(k) உணலேபயனைால் P(k + 1) உணலேயாகும்.
` அலனத்து இயல் ேதிப்பிற்கும் P(n) உணலேயாகும்.
8டுÚதுக்காட்டு
23n–1 எனெது s7 ஆல் வகுெடும்t (அலனத்து n N ! ) என நிரூபி.
߶
P(n) = 23n–1 என்க
படி 1: n = 1 என பிரதியிட
` P(1) = 23 –1
= 7 (7 ஆல் வகுெடும் எண)
i.e., P(1) உணலே ஆகும்.
படி 2: n = k எனெதற்கு மேற்்கணட·ற்று உணலே என்க.
i.e., P( ) = 23k –1 7 ஆல் வகுெடும் எண என்க.
9மதம் ஒரு m N ! க்கு 23k –1 = 7m என்க. ... (1)
படி 3: P( + 1) உணலே என நிரூபிக்்க மவணடும்
P(k +1) = 23] g k+1 –1
= 2 1 3 3 k - ] g +
= 2 2 1 3 3 k $ -
= 2 8 1 3k $ -
= 2 7 1 1 3k $] g + -
= 2 7 2 1 3k 3k $ +^ h -
= 2 7 7 7 m m ( ) 2 3 3 k k $ + = + & 7 ஆல் வகுெடும் எண
எனமவ, P (k +1) ம் உணலே ஆகிைது.
்கணிதத் பதாகுத்தறிதல் விதிப்ெடி P(k) உணலே எனில் P (k +1) ம் உணலே ஆகிைது.
` n ன அலனத்து இயல் ேதிப்பு்களுக்கும் P (n) உணலே ஆகிைது.
Ch-2_TM.indd 71 19/04/18 6:58 PM
www.tntextbooks.in
Page 78 of 240
72 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
8டுÚதுக்காட்டு
்கணிதத் பதாகுத்தறிதல் விதிப்ெடி n2 + n ஒரு sஇரட்லடப் ெலட எணt (அலனத்து n N ! )
என நிறுவு்க.
߶
P(n) எனெது “n2+ n என வலரயறுக்்கப்ெடுகிைது.
n = 1 என பிதியிடவும்
P(1) = 12 + 1 = 1 + 1 = 2 , ஒரு இரட்லடப்ெலட எண.
P(k) எனெது உணலே என்க.
i.e., P(k) = k2 + k ஒர sஇரட்லட ெலட எணt எனெது உணலேயாகும்
` P(k) = k2 + k = 2m, m N ! ...(1)
P(k + 1) உணலே என நிரூபிக்்க
P(k + 1) = k k 1 1 2 ] ] + g g + + = k k2 1 k 1 2 + + + +
= k k 2 2 k 2 + + +
= 2m + 2(k + 1) by (1)
= 2(m + k + 1) (ஒர இரட்லட ெலட எண)
` (k + 1)2 + (k + 1) ஒர இரட்லடப் ெலட எண
` P(k) உணலே எனில் P(k + 1) உணலே ஆகிைது.
` n ன எல்லா இயல் ேதிப்பிற்கும் P(n) உணலே ஆகிைது.
பயிற்z
கணிதÚ YதாகுÚதறிதல் Âைம் அலனத்து n N ! க்கும் âக்கண்Cவற்ணL நிறு¶க
1. 13 + 23 + 33+... +n3 =
n n( )
4
1 2 2 + .
2. 1.2 + 2.3 + 3.4 +... + n(n + 1) = n n n
3
] ]g g + + 1 2 .
3. 4 + 8 + 12 + ... + 4n = 2n(n+1).
4. 1 + 4 + 7 + ... + (3n –2) = n n
2
] g 3 1 - .
Ch-2_TM.indd 72 19/04/18 6:58 PM
www.tntextbooks.in
Page 79 of 240
4யற்>~EÝ 73
5. 32n –1 எனெது 8ஆல் வகுெடும்.
6. a b n n - எனெது a – b ஆல் வகுெடும்.
7. 52n –1 எனெது 24 ஆல் வகுெடும்.
8. n(n + 1) (n+2)எனெது 6 ஆல் வகுெடும்.
9. அலனத்து இயல் எண்களுக்கும் 2n > n.
5±றுப்புÚ மதற்Lம்
ąĦīĬĪĦĞĩ ıĥĢĬįĢĪ
·டுதல் அல்லது ்கத்தல் எனை பெயலி்களால் இலைக்்கப்ெட்ட இரணடு உறுப்பு்கலளக்
ப்காணட இயற்்கணிதக் ம்காலவயானது ஒரு 5ருறுப்புக்ம்காலவ (Binomial) என
அலழக்்கப்ெடுகிைது.
x y , , a b x , , y p p y
5 2 1 5
4
7 1 ^ + - h ] g c + + m c m d + 2 n எனென 5ருறுப்புக் ம்காலவக்்கான
எடுத்துக்்காட்டு்கள் ஆகும்.
5ருறுப்பு அடுக்கு்கலள விரிவாக்குதல் எனெது 5ருறுப்புத் மதற்ைம் அல்லது 5ருறுப்பு ம்காலவ
எனப்ெடும்.
(x + y )n எனெதலன axbyc
எனை அலேப்பில் உள்ள உறுப்பு்களின ·டுதலா்க
விரிவாக்்கம் பெயய முடியும். இஙகு b ேற்றும் c எனை அடுக்கு்கள் b + c = n எோறு உள்ள
மில்கமுழுக்்களாகும். ஒáபவாரு உறுப்பிலும் உள்ள a எனை மில்க முழுக்ப்கழு எனெது 5ருறுப்புக்
ப்கழு என வழங்கப்ெடும்.
கிமரக்்க ்கணிதமேலத Ãக்ளிட் எனெரால் பொ.ஆ.மு. 4 ஆம் நூற்ைாணடில் (x + a)2 -ன
விரிவு வழங்கப்ெட்டுள்ளது. பொ.ஆ.மு. 6 ஆம் நூற்ைாணடில் (x + a)3 -ன விரிவு இநதியாவில
அறியப்ெட்டதற்்கான ஆதாரம் உள்ளது. 1544- ஆம் ஆணடு ‘லேக்ம்கல் ஸ்டிபெல் ’ (Michael Stifle)
எனெவரால் ‘5ருறுப்புக் ப்கழு’ எனை ெதம் அறிமு்கப்ெடுத்தப்ெட்டது.
பிமளஸ் ொஸ்்கல் (Blaise Pascal) (19 ெWன 1623 – 19 ஆ்கஸ்ட் 1662) எனெவர பிரானஸ்
நாட்டு ்கணித மேலத, இயற்பியலாளர, எழுத்தாளர ேற்றும் ்கத்மதாலிக்்க இலையியலாளர.
இவர 1652 ஆம் ஆணடு பவளியிடப்ெட்ட “எண்கணித முக்ம்காைம்” எனை ெதிவில் 5ருறுப்புக்
ப்கழுக்்கலள முக்ம்காை வடிவில் வடிவலேத்துள்ளார. இதுமவ தற்பொழுது ொஸ்்கலின
முக்ம்காைம் எனப்ெடுகிைது.
5ருறுப்புத் மதற்ைம் (x + a)n -ன விரிலவ, அலனத்து விகிதமுறு எண qīr க்கும் உ்கநததா்க
ோற்றி பொதுவா்க அலேத்தவர ெர :ெக் நிÃட்டன அவர்கள்.
Ch-2_TM.indd 73 19/04/18 6:58 PM
www.tntextbooks.in
Page 80 of 240
74 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
மதற்Lம்
நிÄபைåறி
x a n ] g + n N ! ற்்கான 5ருறுப்புத் மதற்ைத்லத இஙகு நாம் ்காணமொம்
(நிரூெைமினறி)
x, qar எனென இரு பேயபயண்கள் எனில், அலனத்து n N ! க்கும் x a n ] g + ன விரிவு
x a n ] g + = nC x a nC x a nC x a ... nC x a n n n r n r r 0
0
1
1 1
2
2 2 + + + + - - - + ...
nCn x a nC x a nC x a n n n
r
n
r n r r 1
1 1 0
0
+ + - = -
=
/ -
குறிப்பு
n = 0 எனில் (x+a)0 = 1
n = 1 எனில் ] g x a + = + 1 1 C x0 1 C a = +x a
n = 2 எனில் x a 2 2 C x C x 2 2 C a x xa a 2 a 0
2
1 2 + 2 2 2 ] g = + + = + +
n = 3 எனில் x a 3 3 C x C x a C3 3 xa C a 3
0
3
1
2
2
2
3 + 3 ] g = + + +
= x x3 3 a xa a 3 2 2 3 + + + ...
x a n ] g + - ன விரிவில் உள்ள 5ருறுப்புக் ப்கழுக்்கள் முக்ம்காை வடிவில்
வடிவலேக்்கப்ெட்டுள்ளது. இதுமவ ொஸ்்கலின முக்ம்காைம் எனப்ெடுகிைது.
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
ெடம். 2.5
குறிப்பு
(i) (x + a)n எனெதன விரிவில் n+1 உறுப்பு்கள் உள்ளன.
(ii) (x + a)n ன விரிவில், ஒáபவாரு உறுப்பிலும் உள்ள x ேற்றும் a ன அடுக்கு்களின
·டுதல் n ஆகும்
Ch-2_TM.indd 74 19/04/18 6:58 PM
www.tntextbooks.in
Page 81 of 240
4யற்>~EÝ 75
(iii) nC nC nC nC nC nC 0 1 , , 2 3 , , ... ,r n ... எனென 5ருறுப்புக் ப்கழுக்்கள் எனப்ெடும். இலவ்கள்
C C0 1 , , C2, C C 3, ..., r n , ..., , C , எனவும் குறிக்்கப்ெடும்.
(iv) nC nC r n = -r, , r =0, 1, 2, ..., n ஆகிவற்றிற்்கான ெணபினெடி (x + a)n - ன விரிவில்
இருபுைத்திலிருநதும் ெே தூரத்தில் உள்ள உறுப்பு்களின ப்கழுக்்கள் ெேோ்க இருக்கும்.
(v) 5ருறுப்புக் ப்கழுக்்களின ·டுதல் = 2n
(vi) (1+x)n, எனெதன விரிவாக்்கத்தில் ஒற்லைப்ெலட உறுப்பு்களின ப்கழுக்்களின ·டுதல்
= இரட்லடப்ெலட உறுப்பு்களின ப்கழுக்்களின ·டுதல் 2n–1
(vii) (x+a)n ன விரிவில் உள்ள பொது உறுப்பு t
r+1 = nCrx a n r - r
x a n ] g + å Fடு 6றுப்பு காaதல்
வணக (i) (x+a)n ன விரிவில் n o இரட்லடப்ெலட எனில் (n+1 ஒற்லைப்ெலட ஆகும்)
இநத விரிவில் உள்ள ஒமர நடு உறுப்பு tn
2 +1 ஆகும்.
வணக (ii) (x+a)n-ல் n ஒற்லைப்ெலட எனில் (n+1 இரட்லடப்ெலட ஆகும் ) இதன
விரிவில் இரணடு நடு உறுப்பு்கள் இருக்கும். அலவ tn
2
+1 ேற்றும் tn
2
+3 ஆகும்.
சில மவலள்களில் (x + a)n - ன விரிவாக்்கத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு மதலவப்ெடுகிைது.
இதற்கு நாம் முதலில் tr+1 எனை பொது உறுப்லெ எழுத மவணடும். tr+1 எனகிை மதலவயான
உறுப்லெ எடுத்துக்ப்காணடு r ன ேதிப்லெ ்காை முடியும். x ன தனி உறுப்லெ ்காணெதற்கு tr+1
எனை பொது உறுப்பின x ன அடுக்ல்க பூசசியத்துடன ெேனபெயது கிலடக்கும் r ன ேதிப்லெ tr+1
பிரதியிட x ன தனிேதிப்லெ நாம் பெைமுடியும்.
குறிப்பு
x a n ] g + = nC x a nC x a nC x a ... nC x a ... a n n n r n r r n 0
0
1
1 1
2
2 2 + + ++ ++ - - - ....(1)
(i) (x–a)ī ல், a க்கு ெதில் –a லய பிரதியிட
x a n ] g - =nC x a nC x a nC x a ... . nC x a a .. n n n r n r r n 0
0
1
1
2
2 2 + - - ] ] - g g + - + + - ] ] - g g + + -
= nC x a nC x a nC x a ... ( ) 1 1 nC x a a ... ( ) n n n r r n r r n n 0
0
1
1
2
2 2 - + + + - + + - - - - ] ] g g ] ] g g
......(2)
மேற்்கணட விரிவாக்்கத்திலுள்ள அடுத்தடுத்த உறுப்பு்களின குறி்கள் மில்க அல்லது
குலையா்க ோறி ோறி இருக்கும்.
(ii) a = 1 எனறு (1) ல் பிரதியிட
1 x 1 nC x nC x ... ... nC x nC x n r r n n 1 2 + 2 ] g = + + + + + + ......(3)
(iii) x = – x எனறு (3) ல் பிரதியிட
1 x 1 nC x nC x ... nC 1 x n ... ( C x – ) 1 n r r r n n n 1 2 - 2 ] g = - + + + ]- g + +
Ch-2_TM.indd 75 19/04/18 6:58 PM
www.tntextbooks.in
Page 82 of 240
76 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
8டுÚதுக்காட்டு
5ருறுப்புத் மதற்ைத்லதப் ெயனெடுத்தி (2x + 3y)5 ன விரிவுக் ்காண்க.
߶
x a n ] g + = nC x a nC x a nC x a ... nC x a n n n r n r r 0
0
1
1 1
2
2 2 + + + + - - - + ...
nCn x a nC x a n n n 1
1 1 0 + + - -
2 3 x y
5 ^ h + = 5C0 2x 5C 2 3 x y 5C 2 3 x y 5C 2 3 x y 5
1
4
2
3 2
3
2 3 ] ] g g + + ^ h ] g ^ h + ] g ^ h +
5C4 2 3 x y 5C 3y 4
5
5 ] g^ ^ h h +
= 32x x 5 16 3y x y x y 2 1
5 4 8 9 3 2 1
543 4 27 ×
×
× ×
5 4 3 2 × × 2 3 + + ] g ^ h ^ h_ _ i i + +
5 2x 81 243 y y 4 5 ] g +
= 32 240 720 1080 810 243 x x y x y x y xy y 5 4 3 2 2 3 4 5 + + + + +
8டுÚதுக்காட்டு
5ருறுப்புத் மதற்ைத்லதப் ெயனெடுத்தி x
x
2 1
2
4
c m + ன விரிவுக் ்காண்க.
߶
x
x
2 1
2
4
c m + = x C x
x
C x
x C x
x C x
4 1 4
1
4
1
4 2 4 1
1
2 3
2 2
2 2
2
2
3
2
2
3
4 2
4
^ ^ h h + + ^ h c m + + ^ hc c m m
= x x
x x x
4 6 8 4 4 4 1 + + + +2 4 + 8
8டுÚதுக்காட்டு
5ருறுப்புத் மதற்ைத்லதப் ெயனெடுத்தி (101)5 oன விரிவு ்காண்க.
߶
(101)5 = (100 + 1)5
= (100)5 + 5C1 (100)4 + 5C2 (100)3 + 5C3 (100)2 + 5C4 (100) + 5C5
= 10000000000+ 5(100000000) + 10(1000000) + 10(10000) + 5(100) + 1
= 10000000000 + 500000000 + 10000000 + 100000 + 500 + 1
= 10510100501
Ch-2_TM.indd 76 19/04/18 6:58 PM
www.tntextbooks.in
Page 83 of 240
4யற்>~EÝ 77
8டுÚதுக்காட்டு
x
x
3
2
10 c m - எனெதன விரிவில் 5வது உறுப்லெக் ்காண்க.
߶
x a n ] g + எனெதன விரிவில் பொது உறுப்பு tr+1 = nCrx a n r - r ஆகும். ... (1)
x
x
3
2
10 c m - ன 5வது உறுப்லெக் ்காை ெேனொடு (1) oல் n o க்கு 10லயயும் r க்கு 4 லயயும்
பிரதியிட t4 1 + = t C x
x 10
3
5 4
6
2
4
= ] g c- m (இஙகு n = 10 , x = x , a = –
x
3
2 )
= C x
x
10 3
4
6
8
4
] g
=
x
17010
2
8டுÚதுக்காட்டு
x x
2 2 10 b l - ன விரிவில் நடு உறுப்லெக் ்காண்க.
߶
x a n ] g + எனெதன விரிவில் பொது உறுப்பு tr+1 = nCrx a n r - r ஆகும். ... (1)
நடு உறுப்லெக் ்காை
x x
2 2 10 b l - எனெதலன x a n ] g + உடன ஒப்பிட
n = 10, x x , a x
2 2 = = - ேற்றும் r = 5 என 1ல் பிரதியிட
t t 5 1 + = 6 = C x x 10 2
5
2 5 - 5
^ h b l
= C x
x
10
2
5
10
5
- 5 ] g = – 8064x5
8டுÚதுக்காட்டு
x
y 3 9
9
b l + -ன விரிவில் நடுஉறுப்லெக் ்காண்க.
߶
x
y 3 9
9
b l + எனெதலன(x + a)n உடன ஒப்பிடு்க n = 9 எனில் ெத்து உறுப்பு்கலள (இரட்லட
ெலட) நாம் பெறுகிமைாம்.
` இதன விரிவில் உள்ள இரணடு நடு உறுப்பு்கள் முலைமய
` , t t
2 2
n n + + 1 3
அதாவது , t t
2 2
9 1 + +9 3 ஆகும்.
Ch-2_TM.indd 77 19/04/18 6:58 PM
www.tntextbooks.in
Page 85 of 240
4யற்>~EÝ 79
߶
(x + a)n - ன விரிவில் பொது உறுப்பு tr+1 = nCrx a n r - r
x
x
2 2
1
2
9
c m + எனெதலன (x + a)n ஒப்பிடு்க.
` tr+1 = C x
x
9 2 3
1 r r r 9
2 - ] g c m
= 9 2 C x x 3
1 r r r r 9 9 - - -2r
tr+1 = 9C x 3
2
r r
r r 9
9 3 $ - - ... (1)
x - லய ொராத உறுப்லெக் ்காை x ன அடுக்ல்க ‘ 0 ’ விற்கு ெேனெடுத்த
9 – 3r = 0
` r = 3
r = 3 : (1) ல் பிரதியிட
t3 1 + = 9C x 3
2
3 5
9 3
0 $ -
= 9C 3
2
3 5
6
= 1792
பயிற்z
1. 5ருறுப்பு மதற்ைத்லதப் ெயனெடுத்தி விரிவுெடுத்து்க.
(i) 2 3 a b 4 ] g - (ii) x y
1 7
c m + (iii) x
x
1
2
6
c m +
2. 5ருறுப்புத் மதற்ைத்லத ெயனெடுத்தி ேதிப்பு ்காண்க:
(i) (101)4 (ii) (999)5
3. (x–2y)13எனெதன விரிவில் 5வது உறுப்லெக் ்காண்க.
4. ழ்க்்கணடவற்றின விரிவில் நடு உறுப்லெக் ்காண்க.
(i) x x
1 11 b l + (ii) x
x 3 2
2 8
b l + (iii) x
x
2 2 3
3
10 c m -
5. ழ்க்்கணடவற்றின விரிவில் x - :ச ொராத உறுப்லெக் ்காண்க
(i) x 3x
2 2 9
b l - (ii) x
x
2
2
15 c m - (iii) x x 2 2 1 12 b l +
6. x x
1 2n
b l + ன விரிவில் x - :ச ொராத உறுப்பு !
...,
n
135 2 1 n 2n $ $ ] g - என நிறுவு்க.
7. 1 x 2n ] g + - ன விரிவில் நடு உறுப்பு !
.....( )
n
135 2 1 n x 2n n - எனக் ்காணபி.
Ch-2_TM.indd 79 19/04/18 6:58 PM
www.tntextbooks.in
Page 86 of 240
80 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
S t e p 4
படி 1
படி 2
4ணையÖ Y@யல்பாடு
4றுயில் xணCக்கப்Yபறும் பCம்
படி – 1
ப்காடுக்்கப்ெட்டிருக்கும் உரலி விலரவுக்குறிலடப்
ெயனெடுத்தி GĢĬGĢğįĞ ெக்்கத்திற்குச பெல்்க..
“11th BUSINESS MATHS” எம் GeoGebra
ெணிப் புத்த்கத்தில் “Pascal’s Triangle” க்்கான
ெணித்தாலள எடுத்துக் ப்காள்ளவும்.
படி - 2
“Pascal’s Triangle” க்்கான ெணித்தாளில், “View Pascal Triangle” ேற்றும் “View Pascal’s
Numbers” பெட்டி்கலளச பொடுக்கி ொஸ்்கல் எண்கலளக் ்கவனிக்்கவும், இப்பொழுது “view
Combination” பெட்டிலயச பொடுக்கினால் īCį-இன ேதிப்பு மதானறும். ்கைக்டு பெயது
ஒáபவாரு புள்ளியுடம் ஒப்டு பெய்க.
பெயல்ொட்டிற்்கான உரலி :
https://ggbm.at/qKj9gSTG (or) scan the QR Code
Ch-2_TM.indd 80 19/04/18 6:58 PM
www.tntextbooks.in
Page 87 of 240
4யற்>~EÝ 81
பயிற்z
@
யாG ணCணயÚ மதßÛYதடுÚது 8μதுக
1. nC nC 3 2 = எனில் nc4 ன ேதிப்பு
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5
2. np2 = 20 எம் பொழுது n - ன ேதிப்பு
(a) 3 (b) 6 (c) 5 (d) 4
3. 5 விலளயாட்டு ரர்களிலிருநது நானகு 4 மெலர எத்தலன வ்களில் மதரநபதடுக்்கலாம்"
(a) 4! (b) 20 (c) 25 (d) 5
4. nPr = 720 ] g nCr , எனில் r -ன ேதிப்பு
(a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7
5. ஒரு நாையம், :நதுமுலை சுணடப்ெடும்பொழுது கிலடக்கும் அலனத்து ொத்திய ·று்களின
எணணிக்ல்க
(a) 25 (b) 52 (c) 10 (d) 2
5
6. n - ெக்்கங்கலளக் ப்காணட ெலம்காைத்தின Âலல விட்டங்களின எணணிக்ல்க
(a) nC2 (b) nC2 - 2 (c) nC2 - n (d) nC2 - 1
7. அலனத்து n N ! க்கு n]]] nnn +++ 123 ggg o : வகுக்்கக்·டிய மி்கப்பெரிய மில்க முழு
எண ஆனது
(a) 2 (b) 6 (c) 20 (d) 24
8. n எனை மில்கமுழுவிற்கு x a n ] g + எனெதன விரிவில் உள்ள உறுப்பு்களின எணணிக்ல்க
(a) n (b) n + 1 (c) n – 1 (d) 2n
9. n எனை மில்கமுழுவிற்கு nC1+ nC2+ nC3+ .........+ nCn ன ேதிப்பு
(a) 2n (b) 2n –1 (c) n2 (d) n2–1
10. x y2 7 ^ h - எனெதன விரிவில், x3 எனெது எத்தலனயாவது உறுப்பு"
(a) 3வது (b) 4வது (c) 5வது (d) 6வது
Ch-2_TM.indd 81 19/04/18 6:58 PM
www.tntextbooks.in
Page 88 of 240
82 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
11. x x
1 10 b l + எனெதன விரிவின நடு உறுப்பு ஆனது
(a) C x 10 1
4 b l (b) 10C5 (c) 10C6 (d) 10C x7
4
12. x x
2 6
b l + ன விரிவின ோறிலி உறுப்பு
(a) 156 (b) 165 (c) 162 (d) 160
13. 3 2 8 ^ h + எனெதன விரிவின ்கலடசி உறுப்பு
(a) 81 (b) 16 (c) 8 2 (d) 27 3
14. x x
kx
4 2 1 x x 4
4
2 1
1
+ - = + + ] ]g g - எனில் k ன ேதிப்பு
(a) 9 (b) 11 (c) 5 (d) 7
15. எழுத்துக்்கலள ணடும் ெயனெடுத்தலாம் எனை வல்கயில் NUMBER எனை
வாரத்லதயிலிருநது அலேக்்கப்ெடும் Âனறு எழுத்து வாரத்லத்களின எணணிக்ல்க
(a) 206 (b) 133 (c) 216 (d) 300
16. நானகு இலை ம்காடு்கள், ேற்பைாரு Âனறு இலை ம்காடு்கமளாடு பவட்டிக் ப்காள்ளும்
பதாகுப்பிலிருநது உருவாக்்கப்ெடும் இலை்கரங்களின எணணிக்ல்க
(a) 18 (b) 12 (c) 9 (d) 6
17. ஒரு மதரவின வினாத்தாளின ெரியா அல்லது தவைா எனை வல்கயில் 10 வினாக்்கள்
உள்ளன. அலவ விலடயளிக்்கப்ெடும் வ்கள்
(a) 240 (b) 120 (c) 1024 (d) 100
18. ]5 5 C C 0 1 + g+]5 5 C C 1 2 + g+] ] 5 5 C C 2 3 + g g + 5 5 C C 3 4 + +]5 5 C C 4 5 + g ன ேதிப்பு
(a) 26 –2 (b) 25 –1 (c) 28 (d) 27
19. பவáமவறு இலக்்கங்கலள உலடய 9 இலக்்க எண்களின போத்த எணணிக்ல்க
(a) 10! (b) 9! (c) 9 × 9! (d) 10 × 10!
20. “ CHEESE ” எனை வாரத்லதயிலுள்ள எழுத்துக்்கலள ப்காணடு அலேக்்கப்ெடும்
வாரத்லத்களின எணணிக்ல்க
(a) 120 (b) 240 (c) 720 (d) 6
Ch-2_TM.indd 82 19/04/18 6:59 PM
www.tntextbooks.in
Page 89 of 240
4யற்>~EÝ 83
21. 13 விருநதினர்கள் ஓர இரவு விருநதில் ்கலநது ப்காள்கிைார்கள், அáவிருநதில் நலடபெறும்
ல்கக்குலுக்்கள்்களின எணணிக்ல்க
(a) 715 (b) 78 (c) 286 (d) 13
22. எழுத்துக்்கள் திரும்ெ வராத நிலலயில் “ EQUATION ” , எனை வாரத்லதயில் உள்ள
எழுத்துக்்கலளப் ெயனெடுத்தி உருவாக்்கப்ெடும், பொருள்ெடும் (அல்லது) பொருள்ெடா
வாரத்லத்களின எணணிக்ல்க
(a) 7! (b) 3! (c) 8! (d) 5!
23. ஒரு குறிப்பிட்ட விரிவாக்்கத்தின 5ருறுப்பு ப்கழுக்்களின ·டுதல் 256 எனில், அáவிரிவில்
உள்ள உறுப்பு்களின எணணிக்ல்க
(a) 8 (b) 7 (c) 6 (d) 9
24. பொருட்்கலள ணடும் ெயனெடுத்தலாம் எனை வல்கயில், பவáமவைான n
பொருட்்களிலிருநது r பொருட்்கலள ஒமர மநரத்தில் மதரநபதடுத்து வரிலெப்ெடுத்தும்
வ்களின எணணிக்ல்க
(a) rn (b) nr
(c) !
!
n r
n
] g - (d) !
!
n r
n
] g +
25. 5ருறுப்பு ப்கழுக்்களின ·டுதல்
(a) 2n (b) n2 (c) 2n (d) n+17
4தKக் கைக்குகள்
1. ெகுதி பினனங்களா்க ோற்று்க : x x
x
1 3
5 7
- +
+
] ]g g
2. ெகுதி பினனங்களா்க ோற்று்க : x x
x
3 2
4
2 - +
-
3. ெகுதி பினனங்களா்க ோற்று்க : x x
x x
2 3
6 14 27
2
2
+ -
- -
] ]g g
4. ெகுதி பினனங்களா்க ோற்று்க : x x x
x x
2 1
5 8 5
2
2
- - +
- +
] g^ h
5. பினவருவனவற்றின ேதிப்பு்கலள ்காண்க
(i) !
!
6
7 (ii) !
!
5
8 (iii) ! !
!
6 3
9
6. A, B, C , D, E, F எனை 6 எழுத்து்களிலிருநது 5 எழுத்து்கலளப் ெயனெடுத்தி எத்தலன
வல்க குறிடு்கலள அலேக்்க முடியும்" a) திரும்பி வராலே b) திரும்பி வரக்·டியலவ
c) திரும்பி வராலே ஆனால் E எனை எழுத்திலிருநது ஆரம்பிக்்க மவணடும் d) திரும்பி
வராலே ஆனால் C A B ல் முடிவலடய மவணடும்.
Ch-2_TM.indd 83 19/04/18 6:59 PM
www.tntextbooks.in
Page 90 of 240
84 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
7. 20 ெரிசு சீட்டு்கள் ப்காணட பதாப்பியிலிருநது, 4 சீட்டு்கள் வரிலெயா்க மதரநபதடுக்்கப்ெடுகிைது.
முதல் சீட்லட எடுப்ெவர ்காலரப் ெரிொ்கப் பெறுகிைார. இரணடாவது சீட்டுக்கு இரு ெக்்கர
வா்கனமும், Âனைாவது சீட்டுக்கு மிதிவணடியும் ேற்றும் நான்காவது சீட்டுக்கு இரு
ெக்்கரங்கலள ப்காணட உநது வணடி ெரிொ்க கிலடக்கிைது. இநத ெரிசு்கள் எத்தலன
வ்களில் வழங்கப்ெடுகிைது"
8. 9 ்கணிதம், 8 பொருளாதாரம் ேற்றும் 7 வரலாற்று புத்த்கங்களின பதாகுப்பில் இருநது
எத்தலன வ்களில் 2 ்கணிதம், 2 பொருளாதாரம் ேற்றும் 2 வரலாற்று புத்த்கங்கலளத்
மதரநபதடுக்்க முடியும்"
9. 3 சிவப்பு, 2 ேஞ்ெள் ேற்றும் 2 ெசலெ நிை ெமிக்்கலஞ (signal) ப்காடி்கள் உள்ளன.
பெஙகுத்தான ப்காடிக்்கம்ெத்தில் ப்காடி்கலளப் ெயனெடுத்தி நாம் விரும்பும் எத்தலன
வல்கயான ெல்மவறு ெமிக்லஞ்கலள பெை முடியும்"
10. x
x
2
2
17 c m + எனை விரிவாக்்கத்தில் x11 ன ப்கழுலவக் ்காண்க.
பதாகுப்புலர
z 9மதம் இயல் எண n ற்கு, n - ன ்காரயப் பெருக்்கம் எனெது, முதல் n இயல்
எண்களின பெருக்குத் பதால்கயாகும். இது குறிட்டில் n! அல்லது n என
குறிக்்கப்ெடுகிைது.
z n எனை இயல் எணணுக்கு n! = n(n– 1) ( n – 2) ... 3× 2× 1
z 0! = 1
z இரணடு ெணி்களில் ஒáபவானறும் தனித்தனி m ேற்றும் n வ்களில் பெயல்ெடுத்தப்ெடுகிைது
எனில் இரணடு ெணி்களும் (m+n) வ்களில் பெயல்ெடுத்த முடியும்.
z n பொருள்்களின r எனை பொருள்்கலள ஒமர மநரத்தில் எடுத்து வரிலெப்ெடுத்தும்
வ்களின எணணிக்ல்க எனெது வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்கயாகும்.
z !
! np n r
n r = ] g -
z !
!
!
! np n
n
n
n
0 = 1 - q = = ] g
z !
!
!
!
np n
n
n
n n
n 1 1
1
1 = - = -
- = ] ]
^
g g
h
z !
!
!
! np ! n n
n n
n 0 n = - = = ] g
z npr = - n n( )( ) 1 2 n n - - ... [ ( ) r - 1 ]
z n பவáமவறு பொருட்்களிலிருநது ஒமர மநரத்தில் r பொருட்்கலள மதரநபதடுக்கும்மொது
பொருட்்கலள ணடும் இடம்பெை அேதிக்கும் பொழுது உருவாகும் வரிலெ
ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க nr
ஆகும்
Ch-2_TM.indd 84 19/04/18 6:59 PM
www.tntextbooks.in
Page 91 of 240
4யற்>~EÝ 85
z ! !
!
p q
n
எனெது n பொருட்்களில் p பொருட்்கள் ஒருவல்கயா்கவும், q பொருட்்கள் ேற்பைாரு
வல்கயா்கவும் உள்ளன எனக் ப்காள்மவாம்.இஙகு p+q =n எனில் n பொருட்்களிலிருநது
ஓமர மநரத்தில் அலனத்லதயும் மதரநபதடுக்கும்மொது உருவாகும் வரிலெ ோற்ைங்களின
எணணிக்ல்க வட்ட வரிலெ ோற்ைத்தில் வலசசுற்று (clock wise) இடசசுற்று (anti- clockwise) ஆகியவற்றிற்்கான மவறுொடு ்காைமுடிநதால், பொருள்்களிள் வட்ட வரிலெ
ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க (n-1)! ஆகும்
z வட்ட வரிலெோற்ைங்கள் வலசசுற்று, இடசசுற்று மவறுொடினறி இருப்பின பொருள்்களில்
வட்ட வரிலெ ோற்ைங்களின எணணிக்ல்க n !
2
] g - 1 ஆகும்.
z n பொருட்்களிலிருநது r பொருட்்கலள மதரவு பெயயும் வ்களின எணணிக்ல்க மெரவு்கள்
ஆகும்.
z n பொருள்்களிலிருநது į பொருள்்கலள மதரநபதடுக்கும் வ்கள் ncr ஆகும்.
z ! !
! nC , r n r
n r = 0 # r n 1 ^ h -
z nCn = 1 = nC0 .
z nC1 = n.
z nC2 = !
n n
2
^ h - 1
z nCx = nCy , எனில் x = y அல்லது x + y = n.
z nCr = nCn r - .
z nC nC r r + = -1 ^ h n C + 1 r
z ( ) x a nC x a nC x a nC x a ... nC x a nC x a n o n o n n r n r r n n 1
1 1
2
2 2
1
1 1 + = + + + + + - - - - -
nCn x a nC x a n
r
n
r 0 n r r
0
+ = =
/ -
z (x+a)n எனை விரிவில் n+1 எனை உறுப்பு்கள் இருக்கும்.
z இநத விரிவாக்்கத்தில் ஒáபவாரு உறுப்பு்களில் உள்ள x ேற்றும் a ன அடுக்கு்களின
·டுதல் n ஆகும்.
z nC nC nC nC nC nC 0 1 , , 2 3 , ...... ...r n ஆகியலவ்களில் C C0 1 , ,C C2 3 , ...C C r n ... எனவும்
குறிக்்கப்ெடும். அலவ்கள் 5ருறுப்புக் ப்கழுக்்கள்.
z r = 0, 1, 2,...n ஆகியவற்றிற்கு nC nC r n = -r , எனமவ (x+a)n எனை விரிவாக்்கத்தின
இரு முலன்களிலிருநதும் ெேதூரத்தில் உள்ள 5ருறுப்புக் ப்கழுக்்கள் ெேோனலவயாகும்.
மேலும் , nC nC nC nC nC nC 0 1 = = n n , , - - 1 2 = n 2
Ch-2_TM.indd 85 19/04/18 6:59 PM
www.tntextbooks.in
Page 92 of 240
86 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
z 5ருறுப்புக் ப்கழுக்்களின ·டுதல் 2n ஆகும்.
z ஒற்லைப்ெலட 5ருறுப்புக் ப்கழுக்்களின ·டுதல் இரட்லட ெலட 5ருறுப்புக் ப்கழுக்்களின
·டுதல் = 2n-1
z x a n ^ h + எனை விரிவாக்்கத்தின பொது உறுப்புt n r r C x a n r r +1 = - .
கணைÖY@ாற்கள்
ܒᾞᾠᾺபு Binomial
எணᾎதலின வகாள்்க Principle of counting
எணᾎதலின வ்பᾞக்கல
வகாள்்க Multiplication Principle of counting
ܘᾞ ்படிக்காரணி Linear factor
கணிதᾷ வதாகுᾷதறிதல Mathematical Induction
காரணܳயᾺ வ்பᾞக்கம் Factorial
வகழு Coecient
சாரா உᾠᾺபு Independent term
ܷசர்ᾫ Combination
்பகுதிᾺ ்பினனஙகள் Partial fractions
்பாῄகலின முக்ܷகாணம் Pascal’s Triangle
்மைய உᾠᾺபு Middle term
ெடட ொி்ச மைாறறம் Circular Permutation
ொி்ச மைாறறஙகள் Permutations
ெிகிதமுᾠ ܷகா்ெ Rational Expression
Ch-2_TM.indd 86 19/04/18 6:59 PM
www.tntextbooks.in
Page 93 of 240
ப¤ ̄ணL Pடியல் 87
கற்Lல் மFாக்கÕகள்
இநத அத்தியாயத்லத ெடித்தபினபு பினவரும் ொடக் ்கருத்து்கலள ோைவர்கள்
புரிநது ப்காள்ள இயலும்
z இயஙகுவலர
z இரும்காடு்களுக்கு இலடப்ெட்ட ம்காைம்
z ஒருபுள்ளி வக்ம்காடு்களின ்கருத்துரு
z இரட்லட மநரக்ம்காடு்கள்
z ஒருவட்டத்தின பொதுவடிவ ேற்றும் துலையலகு ெேனொடு்கள்
z வட்டத்தின பொதுவான ெேனொட்டின லேயம் ேற்றும் ஆரம்
z ஒரு விட்டத்தின முலனப்புள்ளி்கள் ப்காடுக்்கப்ெடின வட்டத்தின
ெேனொடு ்காணுதல்
z ஒரு வட்டத்திற்கு, ப்காடுக்்கப்ெட்ட புள்ளியில் பதாடும்காட்டின ெேனொடு
z ·ம்புபவட்டியின வல்க்கலள அறிதல்
z ெரவலளயத்தின திட்டசெேனொடு, குவியம், இயக்குவலர
ெரவலளயத்தின பெáவ்கலம் ேற்றும் வணி்கப் ெயனொடு்கள்
2றிமுகம்
KாமG YCகாßமC
(1596-1650)
“Geometry” எனை பொல்லானது கிமரக்்க போயின “geo”
ேற்றும் “metron’’ எனை பொற்்களிலிருநது வருவிக்்கப்ெட்டது.
“geo” எனைால் பூமி எனறும், “metron’’ எனைால் அளப்ெது எனறும்
பொருளாகும்.
வடிவியல் எனெது புள்ளி்கள், ம்காடு்கள், வலளவு்கள்,
மேற்ெரப்பு மொனைலவ்கலளயும், அலவ்களின ெணபு்கலளயும்
ெற்றியப் ெடிப்ொகும். வடிவியல் வலளவலர்களுக்கும், இயற்்கணித
ெேனொடு்களுக்கும் உள்ள பதாடரலெ வலியுறுத்துவது, ெகுமுலை
வடிவியலின முக்கியப் ெங்காகும்.
பு்கழ்பெற்ை பிபரஞ்சு தத்துவ மேலதயும், ்கணித மேலதயுோன, ராமன பட்காரமட (1596-
1650), இயற்்கணிதத்லத ெயனெடுத்தி, வடிவியலல ்கற்ெது பதாடரொன, முலையான ்கற்ைலல
முதனமுதலில் தனலடய நூலான “la Geometry’’ ல் 1637ல் பிரசுரித்தார. இயற்்கணிதம்
ேற்றும் வடிவியலின மெரவு, தற்மொது ெகுமுலை வடிவியல் எனறு அலழக்்கப்ெடுகிைது. இதனால்
அவர ெகுமுலை வடிவியலின தநலத எனக் ்கருதப்ெடுகிைார.
3 பகுமுணL வடியல்
2ÚயTயÝ
Ch-3_TM.indd 87 19/04/18 7:04 PM
www.tntextbooks.in
Page 94 of 240
88 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
விோனம் தயாரிக்கும் பதாற்ொலலயில் ெகுமுலை வடிவியல் பெருேளவில் ெயனெடுகிைது.
குறிப்ொ்க விோனப் ொ்கங்களின வடிவங்கள் ொரநத துலையில் பெருேளவில் ெயனெடுகிைது.
நியமப்பாணத 2ல்ைது 4யÕகுவணK
ďĬĠIJİ
வணKயணL 3.1
ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவ ்கணித விதியின அல்லது விதி்களின
அடிப்ெலடயில் இயஙகும் புள்ளியின ொலத அதன இயஙகுவலர அல்லது
நியேப்ொலத எனப்ெடும்.
4யÕகுவணKயிå @மåபாடு
ĈĮIJĞıĦĬī Ĭģ Ğ ĩĬĠIJİ
a
C a
P2
P1
a
ெடம் 3.1
இயஙகுவலரயில் உள்ள அலனத்துப் புள்ளி்களின
ஆயத்பதாலலவு்களால் 5டு பெயயப்ெடும் ĵ, Ķ o ல் உள்ள எநத
ஒரு பதாடரபும் இயஙகுவலரச ெேனொடு எனப்ெடும்.
எடுத்துக்்காட்டு்கள்,
(i) C(h, k) எனை நிலலயான புள்ளியிலிருநது,
எப்பொழுதும் ெேதுதூரத்தில் உள்ள P(x, y) எனை
புள்ளியின இயஙகுவலர, அப்புள்ளிலய லேயோ்க
உலடய வட்டோகும். நிலலயான புள்ளி c : வட்டத்தின லேயம் எனமொம்.
(ii) A, B எனை இரு நிலலயான புள்ளி்களிலிருநது ெேதூரத்தில் உள்ள புள்ளியின
இயஙகுவலர AB க்கு லேயக் குத்துக்ம்காடாகும்.
ெடம் 3.2
A B
ஒமர மநர திலெயில் ந்கரும்
ஒரு புள்ளியின இயஙகுவலர
ஒரு மநரம்காடு ஆகும்.
8டுÚதுக்காட்டு
ஒரு தளத்தின துள்ள ஒரு புள்ளி ஆதியிலிருநது உள்ள பதாலலவு அப்புள்ளியின
y- அசசிலிருநது அதன பதாலலலவப்மொல் Âனறு ேடஙப்கனில் அப்புள்ளியின இயஙகுவலரலயக்
்காண்க.
Ch-3_TM.indd 88 19/04/18 7:04 PM
www.tntextbooks.in
Page 95 of 240
ப¤ ̄ணL Pடியல் 89
߶
P x^ h 1 1 , y எனெது இயஙகுவலரயின துள்ள 9மதம் ஒரு புள்ளி என்க. P x^ h 1 1 , y எனை
புள்ளியிலிருநது Y -அசசிற்கு வலரயப்ெட்ட பெஙகுத்துக் ம்காட்டின அடிப்புள்ளி A என்க.
OP = 3 AP ப்காடுக்்கப்ெட்டுள்ளது
OP2 = 9AP2
x y 1 0 0 2
1
2 ^ ^ - + h h - = 9x1
2
x y 1
2
1
2 + = 9x1
2
8x y 1
2
1
2 - = 0
` P x^ h 1 1 , y ன இயஙகுவலர 8 0 x y 2 2 - =
8டுÚதுக்காட்டு
(2, –3) ேற்றும் (3, –4) எனை புள்ளி்களிலிருநது ெேதூரத்திலிருக்கும் ஒரு ந்கரும் புள்ளியின
இயஙகுவலரலயக் ்காண்க.
߶
ப்காடுக்்கப்ெட்டுள்ள புள்ளி்கலள A(2, –3) ேற்றும் B(3, –4) என எடுத்துக் ப்காள்மவாம்
P x^ h 1 1 , y எனெது இயஙகுவலரயின துள்ள 9மதம் ஒரு புள்ளி என்க.
PA = PB ப்காடுக்்கப்ெட்டுள்ளது.
PA2 = PB2
x y 1 2 3 2
1
2 ^ - h +^ + h = x y 1 3 4 2
1
2 ^ - h +^ + h
xx yy 1 4 4 6 9 2
1 1
2 - + + + 1 + = xx yy 1 6 9 8 16 2
1 1
2 - + + + 1 +
i.e., 2 2 x y 1 1 - - 12 = 0
i.e., x y 1 1 - - 6 = 0
P x^ h 1 1 , y ன இயஙகுவலர x y - - 6 = 0.
8டுÚதுக்காட்டு
(–5, 1) ேற்றும் (3, 2) எனை புள்ளி்களுடன ஒரு பெஙம்காை முக்ம்காைத்லத அலேக்கும்
வல்கயில் ந்கரும் புள்ளியின இயஙகுவலரலயக் ்காண.
߶
ப்காடுக்்கப்ெட்ட புள்ளி்கள் A(–5, 1) ேற்றும் B(3, 2) என்க.
Ch-3_TM.indd 89 19/04/18 7:04 PM
www.tntextbooks.in
Page 96 of 240
90 3Ý P¤Ü® P~>Ô >~EÝ Iற்2Ý ®ãயல்
P x^ h 1 1 , y எனெது இயஙகுவலரயின து 9மதம் ஒரு புள்ளி என்க.
+APB = 90o ப்காடுக்்கப்ெட்டுள்ளது.
அதாவது TAPB ஒர பெஙம்காை முக்ம்காைோகும்
BA2 = PA2
+PB2
(3+5)2
+ (2–1)2
= xyxy 1 5132 2
1
2
1
2
1
2 ^ + h +^ - h +^ - h +^ - h
65 = x x 1 10 25 yy xx yy 2 1 6 9 4 4 2
1 1
2
1 1
2
1 1
2 + + + - + + - + + - 1 +
அதாவது 2 2 x y 1 4 6 x y 39 65 2
1
2 + + 1 1 - + - = 0
அதாவது x y 1 2 3 x y 13 2
1
2 + + 1 1 - - = 0
எனமவ P x^ h 1 1 , y ன இயஙகுவலர x y 2 3 x y 13 2 2 + + - - = 0
பயிற்z
1. (1, 3) எனை புள்ளிக்கும், x-அசசுக்கும், ெேபதாலலவில் உள்ள ஒரு ந்கரும் புள்ளியின
நியேப்ொலதலயக் ்காண்க.
2. (3, –2) எனை புள்ளியிலிருநது, எப்பொழுதும் 4 அலகு தூரத்தில் இருக்கும் புள்ளியின
நியேப்ொலதலயக் ்காண்க.
3. ஒரு ந்கரும் புள்ளி, (2,1) ேற்றும் (1,2) எனை புள்ளி்களிலிருநது உள்ள பதாலலவு்கள்
2:1 எனை விகிதத்தில் இருக்குோறு ந்கருகிைபதனில், அப்புள்ளியின இயஙகுவலரலயக்
்காண்க.
4. (7, –6) ேற்றும் (3,4) எனை புள்ளி்களுக்கு ெேதூரத்தில், x - அசசின தலேநத ஒரு
புள்ளிலயக் ்காண்க.
5. A(–1, 1) ேற்றும் B(2, 3) எனென இரு நிலலப்புள்ளி்கள் எனில் முக்ம்காைம் APB ன
ெரப்ெளவு 8 ெ.அலகு்கள் எனைவாறு ந்கரும் P எனை புள்ளியின நியேப் ொலதலயக் ்காண்க.
மFßக்மகாடுகளிå Yதாகுப்பு
ĖĶİıĢĪ Ĭģ İıįĞĦĤĥı ĩĦīĢİ
நிணG¶ ·றுதல் மFßக்மகாடுகள்
முநலதய வகுப்பு்களில், ெகுமுலை வடிவியல் ெற்றிய அடிப்ெலட ்கருத்துருக்்கலள,
அறிநதுள்மளாம். தூர வாயொடு, பிரிவு வாயொடு, முக்ம்காைத்தின ெரப்பு ்காணும் வாயொடு ேற்றும்
ம்காடு்களின ொயவு முதலியனவற்லை ழ்வகுப்பு்களில் ்கற்றுள்மளாம். மநரம்காடு்களின ெலவல்க
ெேனொடு்கலள, 10 ஆம் வகுப்பில் ்கற்றுள்மளாம். 11 ஆம் வகுப்பின புதிய ்கருத்துக்்கலளயும், புதிய
வலரயலை்கலளயும் நனகு புரிநது ப்காள்ள, நிலனவு ·றுதல் அவசியோகிைது.
Ch-3_TM.indd 90 19/04/18 7:04 PM
www.tntextbooks.in
Page 99 of 240
ப¤ ̄ணL Pடியல் 93
i எனெது ப்காடுக்்கப்ெட்ட ம்காடு்களுக்கு இலடப்ெட்ட ம்காைம் எனில்
tan i = m m
m m
1 1 2
1 2
+
-
= 1 2 1
2 1 3 + -
+ = ^ h
i = tan 3 -1
^ h
;± மகாட்டி±Ûது ;± புள்ளியிå Yதாணை¶
ćĦİıĞīĠĢ Ĭģ Ğ ĭĬĦīı ģįĬĪ Ğ ĩĦīĢ
(i) P(l, m) எனை புள்ளியிருநது ax by c + + = 0 -ன பெஙகுத்து தூரம் d
a b
al bm c = 2 2 +
+ +
(ii) ஆதி (0, 0) லிருநது ax by c + + = 0 -ன பெஙகுத்து பதாலலவு d
a b
c = 2 2 +
8டுÚதுக்காட்டு
x y - + 5 0 = எனை ம்காடு ஆதியிலிருநதும் P(2, 2) எனை புள்ளியிலிருநதும் ெே
பதாலலவில் உள்ளது எனக் ்காட்டு்க.
߶
ப்காடுக்்கப்ெட்ட ம்காடு x y - + 5 0 =
P(2, 2) எனை புள்ளியிலிருநது உள்ள பெஙகுத்து பதாலலவு =
1 1
225
2 2 +
- +
=
2
5
=
2
5
(0, 0) லிருநது உள்ள பதாலலவு =
1 1
5
2
5
2 2 + = =
2
5
ப்காடுக்்கப்ட்ட ம்காடு (0, 0) ேற்றும் (2, 2) புள்ளியிலிருநது ெே பதாலலவில் உள்ளது
8டுÚதுக்காட்டு
இரு ம்காடு்களுக்கு இலடப்ெட்ட ம்காைம் 4
r , மேலும் ஒரு ம்காட்டின ொயவு 3, எனில்
ேற்மைார ம்காட்டின ொயலவக் ்காண்க.
߶
m1
ேற்றும் m2
ஆகியவல்கலள ொயவு்களா்க உலடய மநரம்காடு்களுக்கு இலடப்ெட்ட
ம்காைம் i எனில்
tan i = m m
m m
1 1 2
1 2
+
-
இஙகு m 3 , 1 4 i r = =
Ch-3_TM.indd 93 19/04/18 7:05 PM
www.tntextbooks.in