Page 1 of 194
PUSAT PERBUKUAN PUSAT PERBUKUAN
Departemen Pendidikan Nasional Departemen Pendidikan Nasional
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 2 of 194
i
Khazanah
Matematika 3
Rosihan Ari Y.
Indriyastuti
untuk Kelas XII SMA dan MA
Program Bahasa
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 3 of 194
ii
Penulis : Rosihan Ari Y.
Indriyastuti
Perancang kulit : Agung Wibawanto
Perancang tata letak isi : Agung Wibawanto
Penata letak isi : Bonawan
Ilustrator : Kusdirgo
Ukuran buku : 17,6 x 25 cm
Khazanah
Matematika
untuk Kelas XII SMA dan MA
Program Bahasa
3
Hak Cipta Pada Departemen Pendidikan Nasional
Dilindungi Undang-undang
Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional
dari Penerbit Wangsa Jatra Lestari, PT
Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
Tahun 2009
Diperbanyak oleh ....
510.07
ROS ROSIHAN Ari Y
k Khazanah Matematika 3 : untuk Kelas XII SMA / MA Program Bahasa
/ penulis, Rosihan Ari Y, Indriyastuti ; ilustrator, Kusdirgo.
. -- Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2009.
vi, 186 hlm, : ilus. ; 25 cm
Bibliografi : hlm. 173-174
Indeks
ISBN 978-979-068-858-2 (No. Jil Lengkap)
ISBN 978-979-068-863-6
1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul II. Indriyastuti III. Kusdirgo
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 4 of 194
iii
Sambutan
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat
rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen
Pendidikan Nasional, pada tahun 2009, telah membeli hak cipta
buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluas- kan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan
Pendidikan Nasional.
Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar
Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks
pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan
dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidi- kan Nasional Nomor 81 Tahun 2008 Tanggal 11 Desember
2008.
Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya
kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan
hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional
untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh
Indonesia.
Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya
kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh
(down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau
difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang
bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi keten- tuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku
teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan
guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang
berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.
Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan
ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan man- faatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa
buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu,
saran dan kritik sangat kami harapkan.
Jakarta, Juni 2009
Kepala Pusat Perbukuan
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 5 of 194
Prakata
Penulis mengucapkan selamat kepada kalian yang telah naik
ke kelas XII Program Bahasa. Tentu kalian sangat bangga. Semoga
kalian terpacu untuk lebih semangat lagi dalam belajar. Teruslah
rajin belajar, gigih, pantang menyerah, dan jangan lupa berdoa
kepada Tuhan agar cita-cita kalian tercapai. Ingat, sebentar lagi
kalian akan menghadapi ujian nasional. Apalagi bagi kalian yang
akan melanjutkan ke jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Kalian
akan menghadapi ujian yang diadakan perguruan tinggi tersebut.
Kalian harus lebih giat lagi dalam belajar sehingga menjadi orang
yang sukses dan membanggakan.
Buku Khazanah Matematika ini akan membantu kalian dalam
mempelajari matematika. Buku ini disusun dengan urutan
penyajian sedemikian rupa sehingga kalian akan merasa senang
untuk mendalaminya. Buku ini akan membantu kalian dalam
belajar. Dalam pembelajarannya, buku ini menuntut kalian untuk
aktif dan bertindak sebagai subjek pembelajaran. Kalian dituntut
untuk mengobservasi, mengonstruksi, mengeksplorasi, dan
menemukan sendiri konsep-konsep matematika sehingga kalian
akan menjadi orang yang dapat berpikir kritis, kreatif, dan inovatif.
Di kelas XII Program Bahasa ini, kalian akan mempelajari
materi-materi berikut:
Ć Program Linear
Ć Matriks
Ć Barisan dan Deret
Penulis berharap semoga buku ini dapat membantu kalian
dalam mempelajari konsep-konsep matematika. Akhirnya,
semoga kalian sukses.
Solo, Februari 2008
Penulis
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 6 of 194
Daftar Isi
Prakata iii
Sambutan iii
Daftar Isi iv
Bab I Program Linear
A. Sistem Pertidaksamaan Linear 3
B. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif
13
Rangkuman 22
Tes Kemampuan Bab I 23
Semester 1
Bab II Matriks
A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks
31
B. Kesamaan Dua Matriks 40
C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
43
D. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks
50
E. Perkalian Matriks 55
F. Invers Suatu Matriks 62
G. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
dengan Matriks 78
Rangkuman 88
Tes Kemampuan Bab II 89
Latihan Ulangan Umum Semester 1 95
v
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 7 of 194
vi
Bab III Barisan dan Deret
A. Barisan dan Deret 103
B. Barisan dan Deret Aritmetika 107
C. Barisan dan Deret Geometri 117
D. Penerapan Konsep Barisan dan
Deret 132
E. Notasi Sigma 136
F. Deret dalam Hitung Keuangan
(Pengayaan) 145
Rangkuman 161
Tes Kemampuan Bab III 162
Latihan Ujian Nasional 167
Semester 2
Daftar Pustaka 173
Lampiran 175
Glosarium 183
Indeks Subjek 185
Kunci Soal-Soal Terpilih 186
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 9 of 194
2 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
membahas
Program Linear
Pertidaksamaan Linear
• bahasa matematika • model matematika • pertidaksamaan linear
• garis selidik • nilai objektif • pertidaksamaan
• kendala • optimasi • program linear
• maksimum • optimum • sistem pertidaksamaan
• minimum • pembatas • uji titik sudut
Metode
Garis Selidik Uji Titik Sudut
Sistem
Pertidaksamaan Linear
Bahasa
Sehari-hari
Model
Matematika
Nilai
Optimum
diterjemahkan
dalam
ditentukan
melalui
Kata Kunci
Peta Konsep
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 10 of 194
Program Linear 3
Pada pokok bahasan kali ini, kita akan membahas suatu
metode untuk mengoptimalkan (memaksimumkan/memini- mumkan) keuntungan atau biaya, yaitu program linear. Program
linear banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya
dalam bidang ekonomi, perdagangan, dan pertanian.
Untuk mempelajari program linear, mari kita ingat kembali
tentang cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
linear dua variabel.
Sebelum kalian mempelajari lebih jauh tentang materi ini,
untuk mengingatkan kalian tentang persamaan dan
pertidaksamaan linear, jawablah pertanyaan berikut.
Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat
merumuskan masalah nyata ke dalam model matematika sistem
pertidaksamaan linear, menyelesaikan, dan menafsirkan hasil
yang diperoleh.
A. Sistem Pertidaksamaan Linear
1. Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pada pembahasan kali ini, kita akan menentukan penyelesaian
sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel menggunakan
metode grafik. Metode grafik dimaksudkan untuk melihat secara
visual gambaran tentang daerah penyelesaian dari pertidaksamaan
linear yang berbentuk aljabar. Karena secara umum grafik
pertidaksamaan linear seperti ax + by * c, ax + by > c, ax + by < c,
dan ax + by ) c berupa daerah yang dibatasi oleh garis ax + by = c
maka langkah-langkah dalam mengambar grafik pertidaksamaan
linear adalah:
a. menggambar grafik garis ax + by = c sebagai batas daerah- nya;
b. menyelidiki daerah penyelesaian yang dimaksud apakah
berada di sebelah kiri, sebelah kanan, di atas, atau di bawah
garis batas yang telah dilukis.
Prasyarat
Kerjakan di buku
tugas
1. Apa yang kalian ketahui tentang persamaan linear, sistem
persamaan linear, pertidaksamaan linear, dan sistem
pertidaksamaan linear?
2. Gambarlah grafik fungsi 2x + 3y = 6. Kemudian arsirlah
himpunan penyelesaian dari 2x +3y * 6.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 14 of 194
Program Linear 7
Y
O X
4
2
(0, 4)
(2, 0)
Gambar 1.3
2) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut tampak
pada gambar di samping.
Pada grafik di samping,
a) penyelesaian x * 0 tersebut berada di sebelah
kanan sumbu Y maka yang kita arsir adalah
daerah tersebut;
b) penyelesaian y * 0 terletak di sebelah atas sumbu
X maka kita arsir daerah tersebut;
c) untuk menyelidiki daerah himpunan penyelesaian
dari pertidaksamaan 2x + y ) 4 maka ambil titik
(0, 0), kemudian substitusikan ke 2x + y ) 4
sehingga diperoleh 2(0) + 0 ) 4 0 ) 4.
Terlihat pernyataan di atas benar. Jadi, titik (0, 0)
berada di dalam daerah penyelesaian sehingga daerah
di mana titik (0, 0) berada, yaitu di bawah garis 2x + y
= 4 kita arsir.
Dari ketiga himpunan penyelesaian yang diperoleh,
dapat disimpulkan bahwa daerah penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan linear itu adalah irisan atau interseksi dari
ketiga himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
Jadi, daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linear, seperti terlihat pada
Gambar 1.3.
b. x * 0; y * 0; x ) 3; x + y ) 5; x, y D R
1) Kita cari titik potong x + y = 5 dengan sumbu
koordinat Cartesius.
x 0 5
y 5 0
(x, y) (0, 5) (5, 0)
Untuk x = 0 A 0 + y = 5 y = 5
Untuk y = 0 A x + 0 = 5 x = 5
Jadi, diperoleh titik potong (0, 5) dan (5, 0)
2) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut adalah
sebagai berikut.
Dari Gambar 1.4, tampak
a) penyelesaian x * 0 adalah daerah di sebelah
kanan sumbu Y (daerah arsiran);
b) penyelesaian y * 0 terletak di sebelah atas sumbu
X (daerah arsiran);
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 25 of 194
18 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
b. Metode Garis Selidik ax + by = k
Cara lain yang lebih sederhana untuk menentukan nilai
maksimum atau minimum dari fungsi objektif z = ax + by adalah
dengan menggunakan garis selidik ax + by = k. Langkah-langkah
untuk menggunakan metode garis selidik ini adalah sebagai
berikut.
1) Gambar garis ax + by = ab yang memotong sumbu X di
titik (b, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, a).
2) Tarik garis yang sejajar dengan ax + by = ab yang melalui
titik-titik perpotongan pada batas-batas daerah himpunan
penyelesaian.
3) Garis selidik yang berada di paling atas atau yang berada di
paling kanan menunjukkan nilai maksimum, sedangkan garis
selidik yang berada di paling bawah atau di paling kiri pada
daerah himpunan penyelesaian menunjukkan nilai minimum.
Titik O(0, 0) A(30, 0) B(20, 10) C(0, 15)
x 0 30 20 0
y 0 0 10 15
z = 1.500x + 3.000y 0 45.000 60.000 45.000
z maks
Dari tabel di atas, terlihat nilai maksimumnya adalah
z = 60.000, yaitu untuk x = 20 dan y = 10.
Jadi, tukang parkir itu akan memperoleh penghasilan
maksimum, yaitu Rp60.000,00 jika ia dapat menerima parkir
mobil sebanyak 20 buah dan parkir bus sebanyak 10 buah.
Tugas: Inkuiri
• Kerjakan di buku tugas
Selain menggunakan meto- de eliminasi untuk mencari
titik potong antara 2 garis,
dapatkah kita menggunakan
cara lain? Jika ya, cara
apakah itu? Bagaimana cara
menyelesaikannya?
Contoh 1:
Tantangan
Ekplorasi
• Kerjakan di buku tugas
Misalnya seorang pedagang
kaki lima menyediakan
modal Rp165.000,00 untuk
membeli buku. Harga buku
jenis I Rp2.000,00 dan harga
buku jenis II Rp5.000,00.
Banyak buku jenis I yang ia
beli tidak lebih dari tiga kali
banyak buku jenis II. Ia
mengambil keuntungan
Rp300,00 untuk setiap buku
jenis II. Jika buku-buku
yang ia beli dengan cara
tersebut terjual habis, berapa
keuntungan maksimal yang
ia peroleh?
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi objektif
z = 2x + 3y yang memenuhi x + y ) 7, x * 0, dan y * 0, x, y D R.
Jawab:
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah
seperti gambar di samping.
Untuk menggunakan metode garis selidik ax + by = k,
ikutilah langkah-langkah berikut.
a) Gambarlah garis 2x + 3y = 2(3) 2x + 3y = 6. Anggap sebagai
garis k0
.
b) Tariklah garis k1
yang sejajar garis k0 melewati titik A(7, 0).
Tarik garis k2
yang sejajar k1
dan melalui titik B(0, 7).
Kemudian, tarik garis k3
yang sejajar k2
dan melalui titik
(0, 0).
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 27 of 194
20 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Kendala-kendala: 30x + 20y * 600 3x + 2y * 60
30x + 40y * 720 3x + 4y * 72
x, y * 0; x, y D R
Jika digambarkan, daerah penyelesaian pertidaksamaan di atas
adalah sebagai berikut.
Gambar 1.9
Tugas: Eksplorasi
• Kerjakan di buku tugas
Coba kalian kerjakan kedua
contoh di atas dengan
metode uji titik sudut. Apa
kesimpulan kalian?
Tentukan nilai maksimum dari 4x + y yang memenuhi
3x + y ) 8, x * 0, y * 0 dan x, y D C.
Jawab:
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
Dari Gambar 1.10 diperoleh titik sudut O(0, 0), A( 2 2
3 , 0), dan
B(0, 8). Karena absis dari titik A bukan merupakan bilangan
cacah, harus dicari titik pada daerah yang diarsir, dengan absis
dan ordinat merupakan bilangan cacah dan letaknya dekat titik
A( 2 2
3 , 0). Titik yang sesuai dengan syarat di atas adalah (2, 0)
dan (2 ,1).
Titik O(0, 0) A1
(2, 0) A2
(2, 1) B(0, 8)
x 0 2 20
y 0 0 18
z = 4x + y 0 8 98
z maks
Dari tabel di atas, diperoleh nilai maksimum fungsi z = 4x + y
adalah z = 9, untuk x = 2 dan y = 1.
Gambar 1.10
Dari gambar di samping, terlihat bahwa titik B merupakan
perpotongan garis 3x + 2y = 60 dan 3x + 4y = 72. Kita tentukan
koordinat titik B sebagai berikut.
3x + 2y = 60
3x + 4y = 72
–2y = –12
y = 6
Jadi, diperoleh y = 6. Dengan menyubstitusikan y = 6 ke salah
satu persamaan garis di atas, diperoleh x = 16. Oleh karena itu,
koordinat titik B adalah B(16, 6).
Terlihat dari Gambar 1.9, titik B terletak paling kiri dari batas- batas daerah penyelesaian sehingga nilai minimum dicapai pada
titik B(16, 6), yaitu z = 17.500(16) + 14.500(6) = 367.000.
Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan oleh petani tersebut adalah
Rp367.000,00 dengan cara membeli 16 bungkus pupuk I dan 6
bungkus pupuk II.
Problem
Solving
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 31 of 194
24 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Y
O X
15
40
25
30
15 50
IV V
III II
I
4. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
x ) 0, y * 0, 2x + y * 30, 3x + 10y * 150,
5x + 8y ) 200 adalah ....
7. Seorang pemborong melakukan pema- sangan instalasi listrik pada suatu pe- rumahan. Untuk tipe 21, diperlukan 60 m
kabel dan 5 lampu. Untuk tipe 36 diperlukan
150 m kabel dan 10 lampu. Jika tersedia 5 km
kabel dan 150 lampu, model matematika
untuk permasalahan di atas adalah ....
a. 6x + 15y * 500, x + y * 30,
x, y * 0, x, y D C
b. 6x + y * 500, x + y ) 30,
x, y * 0, x, y D C
c. 6x + 15y * 500, 2x + y ) 30,
x, y * 0, x, y D C
d. 6x + 15y ) 500, x + 2y * 30,
x, y * 0, x, y D C
e. 6x + 15y ) 500, x + 2y ) 30,
x, y * 0, x, y D C
8. Daerah yang diarsir pada gambar di
bawah ini merupakan penyelesaian
dari sistem pertidaksamaan linear.
Nilai maksimum dari fungsi objektif
z = 15.000x + 10.000y adalah ....
a. 115.000
b. 125.000
c. 135.000
d. 145.000
e. 155.000
9. Jika diketahui bahwa P = x + y dan Q =
5x + y maka nilai maksimum dari P dan
Q pada sistem pertidaksamaan x * 0, y * 0,
x + 2y ) 12 dan 2x + y ) 12 adalah ....
a. 8 dan 30
b. 6 dan 6
c. 4 dan 6
d. 6 dan 24
e. 8 dan 24
10. Untuk membuat barang A diperlukan
6 jam pada mesin I dan 4 jam pada
mesin II, sedangkan membuat barang B
memerlukan 2 jam pada mesin I dan 8
4
Y
O X
4
-4 A
B
6
6
C
D
a. I
b. II
c. III
d. IV
e. V
5. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika daerah
segi lima berikut merupakan penyelesaian
dari sistem pertidaksamaan linear dari pro- gram linear, fungsi objektif z = 5x + y
mencapai maksimum di titik ....
a. A
b. B
c. C
d. D
e. O
6. Suatu pesawat udara mempunyai tempat
duduk tidak lebih dari 50 penumpang.
Setiap penumpang kelas utama boleh
membawa bagasi 70 kg, sedangkan untuk
kelas ekonomi 30 kg. Pesawat itu hanya
dapat membawa bagasi 2.100 kg. Jika
harga untuk kelas utama Rp250.000,00
per orang dan kelas ekonomi Rp175.000,00,
keuntungan maksimum yang dapat
diperoleh adalah ....
a. Rp7.500.000,00
b. Rp8.500.000,00
c. Rp8.750.000,00
d. Rp9.785.000,00
e. Rp9.875.000,00
Y
O X
4
6
7
1 7
(1, 6) (3, 7)
(5, 4) (7, 4)
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 32 of 194
Program Linear 25
jam pada mesin II. Kedua mesin
tersebut setiap harinya masing-masing
bekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika
setiap hari dibuat x buah barang A dan
y buah barang B maka model matematika
dari uraian di atas adalah ....
a. 2x + 3y ) 9, 4x + y ) 9, x * 0, y * 0
b. 3x + 2y ) 9, 2x + 4y ) 9, x * 0, y * 0
c. 3x + y ) 9, 2x + 4y ) 9, x * 0, y * 0
d. 3x + y ) 9, 4x + 2y ) 9, x * 0, y * 0
e. 4x + 3y ) 9, x + 2y ) 9, x * 0, y * 0
11. Luas area parkir adalah 176 m2
. Luas
rata-rata mobil sedan dan bus masing- masing 4 m2
dan 20 m2
. Area parkir
tersebut hanya mampu menampung 20
kendaraan, dengan biaya parkir untuk
mobil dan bus masing-masing
Rp1.000,00 per jam dan Rp2.000,00 per
jam. Jika dalam waktu 1 jam tidak ada
kendaraan yang pergi atau datang, hasil
maksimum area parkir tersebut adalah ....
a. Rp20.000,00
b. Rp34.000,00
c. Rp44.000,00
d. Rp26.000,00
e. Rp30.000,00
12. Seorang pemilik toko sepatu ingin
mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki
paling sedikit 100 pasang dan sepatu
wanita paling sedikit 150 pasang. Toko
tersebut dapat memuat 400 pasang
sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu
laki-laki adalah Rp1.000,00 dan setiap
pasang sepatu wanita adalah Rp500,00.
Jika banyak sepatu laki-laki tidak boleh
melebihi 150 pasang, maka keuntungan
terbesar yang dapat diperoleh adalah ....
a. Rp275.000,00
b. Rp300.000,00
c. Rp325.000,00
d. Rp350.000,00
e. Rp375.000,00
13. Perhatikan gambar berikut.
O
9
7
(4, 1)
(2, 3)
X
Y
Daerah yang diarsir pada gambar di atas
menya-takan daerah penyelesaian suatu
sistem pertidaksamaan. Nilai minimum
dari x + y pada daerah penyelesaian
tersebut adalah .... (UN SMK 2006)
a. 9 d. 3
b. 7 e. 1
c. 5
14. Untuk membuat roti jenis A diperlukan
400 gram tepung dan 50 gram mentega.
Untuk membuat roti jenis B diperlukan
200 gram tepung dan 100 gram mentega.
Roti akan dibuat sebanyak-banyaknya.
Persediaan tepung 9 kg dan mentega 2,4 kg,
bahan-bahan lain dianggap cukup. Jika
x menyatakan banyak roti jenis A dan y
menyatakan banyak roti jenis B yang
akan dibuat maka model matematika
yang memenuhi pernyataan tersebut
adalah .... (UN SMK 2007/Paket 14)
a. 2x – y ) 45, x + 2y * 48, x * 0, y * 0
b. 2x + y ) 45, x + 2y ) 48, x * 0, y * 0
c. 2x + y * 45, x + 2y * 48, x * 0, y * 0
d. 2x + y ) 45, x – 2y ) 48, x * 0, y * 0
e. 2x + y ) 45, x + 2y ) 48, x ) 0, y ) 0
15. Perhatikan gambar grafik berikut.
Daerah penyelesaian yang memenuhi
sistem pertidaksamaan
x + y ) 5
3x + 2y ) 12
x * 2
y * 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 39 of 194
32 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Dalam membaca tabel di atas, siswa tidak mengalami
kesulitan karena dia sudah tahu bahwa baris ke-1 adalah nilai
Matematika, baris ke-2 nilai Sejarah, baris ke-3 nilai TIK, dan
baris ke-4 nilai Bahasa Inggris. Untuk kolom pertama
menyatakan nilai ulangan I, kolom ke-2 adalah nilai ulangan II,
dan seterusnya.
Dalam matematika, susunan bilangan yang ditulis menurut
baris dan kolom serta ditandai dengan tanda kurung di sebelah
kiri dan sebelah kanannya disebut matriks. Nama baris dan kolom
disesuaikan dengan urutannya. Masing-masing bilangan yang
ada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen matriks. Pada
matriks di atas, elemen matriks baris ke-2 kolom ke-4 adalah 6
dan elemen matriks baris ke-3 kolom ke-1 adalah 5. Hal ini dapat
dilihat dengan mudah pada matriks berikut.
μ
μ
μ
μ
3
3
3
3
7 9 10 8
5 7 8 6
8 7 8 6
7 8 9 8
kolom ke-4
kolom ke-3
kolom ke-2
kolom ke-1
baris ke-4
baris ke-3
baris ke-2
baris ke-1
Tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana.
́
́
́
́
́
¦
¥
2
2
2
2
2
¤
£
7 9 10 8
5 7 8 6
8 7 8 6
7 8 9 8
atau
μ
μ
μ
μ
3
3
3
3
7 9 10 8
5 7 8 6
8 7 8 6
7 8 9 8
Tugas: Observasi
• Kerjakan di buku tugas
Ambillah sebuah surat
kabar. Carilah daftar harga
dasar kebutuhan bahan
pokok, daftar hasil skor
pertandingan sepak bola,
atau daftar nilai tukar mata
uang. Buatlah daftar tersebut
menjadi bentuk matriks.
Bagaimanakah hasilnya,
apakah bentuknya lebih
ringkas?
Pada matriks di atas, elemen matriks baris ke-3 kolom ke-4
adalah 6. Elemen matriks baris ke-2 kolom ke-3 adalah 8.
2. Notasi dan Ordo Matriks
Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf
kapital, seperti A, B, C, ..., sedangkan untuk menyatakan elemen
matriks ditulis dengan huruf kecil. Misalnya, aij untuk
menyatakan tiap elemen matriks A, bij untuk menyatakan tiap
elemen B, dan seterusnya.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 41 of 194
34 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Jawab:
a. A =
μ
μ
μ
μ
3
3
3
3
2.600 4.000 5.600
2.400 3.800 5.000
2.300 3.900 4.700
1.900 3.750 4.500
b. Banyak baris pada matriks A adalah 4 dan banyak kolom
pada matriks A adalah 3.
c. Elemen-elemen pada baris kedua adalah a21 = 2.300,
a22 = 3.900, dan a23 = 4.700.
d. Elemen-elemen pada kolom ketiga adalah a13 = 4.500,
a23 = 4.700, a33 = 5.000, dan a43 = 5.600.
Contoh 2:
Diketahui matriks B =
7
6
0
5
4
3
1
2
6
8
9
7
<
3
3
3
μ
μ
μ
.
Tentukan
a. ordo matriks B;
b. elemen-elemen baris pertama;
c. elemen pada baris ke-3 dan kolom ke-2;
d. elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-4.
Jawab:
a. Matriks B mempunyai 3 baris dan 4 kolom sehingga ordo
matriks B adalah 3 × 4 atau dinotasikan B3 4 × .
b. Elemen-elemen baris pertama adalah 7, –5, 1, dan 8.
c. Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 adalah 3, ditulis b32 = 3.
d. Elemen pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9, ditulis b24 = 9.
Problem
Solving Diketahui sistem persamaan linear berikut.
3x + 5y – x = 4
5x + 2y – 3z = 8
2x – 4y + 2z = 6
a. Susunlah sistem persamaan linear di atas ke dalam matriks A.
b. Tentukan ordo matriks A.
c. Hitunglah a32 + a21 + a13.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 43 of 194
36 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
c. Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama
dengan banyak kolom. Jika banyak baris matriks persegi A adalah n
maka banyaknya kolom juga n, sehingga ordo matriks A adalah
n × n. Seringkali matriks A yang berordo n × n disebut dengan
matriks persegi ordo n. Elemen-elemen a11, a22, a33, ..., ann
merupakan elemen-elemen pada diagonal utama.
Misalnya:
A = μ
3
2 10
1 8
merupakan matriks persegi ordo 2.
B =
μ
μ
μ
μ
3
3
3
3
<
2 1 0 2
3 7 13 3
2 6 11 1
4 5 9 2
merupakan matriks persegi ordo 4.
Elemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 1 dan 10,
sedangkan pada matriks B adalah 4, 6, 13, dan 2.
d. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap
elemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya adalah 0
(nol), sedangkan elemen pada diagonal utamanya tidak semuanya
nol.
Misalnya:
C = μ
3
0 1
2 0
D =
μ
μ
μ
3
3
3
0 0 0
0 4 0
3 0 0
e. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks persegi dengan semua
elemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnya
semuanya 0 (nol). Pada umumnya matriks identitas dinotasikan
dengan I dan disertai dengan ordonya.
Misalnya:
I2
= μ
3
0 1
1 0
I3
=
μ
μ
μ
3
3
3
0 0 1
0 1 0
1 0 0
I
4 =
μ
μ
μ
μ
3
3
3
3
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 44 of 194
Matriks 37
Contoh:
f. Matriks Nol
Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya
adalah 0 (nol). Matriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf
O diikuti ordonya, Om × n .
Misalnya:
O2×1 = μ
3
0
0 O3 2 × =
μ
μ
μ
3
3
3
0 0
0 0
0 0
O2×3 = μ
3
0 0 0
0 0 0
4. Transpose Suatu Matriks
Transpose dari matriks A berordo m × n adalah matriks yang
diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi
elemen kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n × m. Notasi
transpose matriks Am × n adalah An m
T
× .
Jika A = μ
3
<
3 5 6
4 2 1
, tentukan AT
dan ordonya.
Jawab:
Terlihat dari matriks A bahwa elemen baris ke-1 adalah 4, 2,
dan –1, sedangkan elemen baris ke-2 adalah 3, 5, dan 6. Untuk
mengubah matriks A menjadi AT
, posisikan elemen baris ke-1
menjadi kolom ke-1 dan elemen baris ke-2 menjadi elemen
kolom ke-2 sehingga diperoleh AT
=
μ
μ
μ
3
3
3
<1 6
2 5
4 3
Ordo matriks A adalah 2 × 3, sedangkan ordo AT
adalah 3 × 2.
Tugas: Inkuiri
• Kerjakan di buku tugas
Buatlah contoh-contoh ma- triks dengan ordo yang
berbeda-beda. Transposekan
matriks-matriks tersebut.
Amatilah hasilnya. Kemu- dian, buatlah bentuk umum
matriks berordo m × n dan
matriks transposenya.
Soal Kompetensi 1
• Kerjakan di buku tugas
1. Diketahui matriks A =
μ
μ
μ
3
3
3
<
< <
3 9 3 7
4 10 12 6
5 6 8 4
.
a. Sebutkan elemen matriks yang terletak pada
1) baris ke-1;
2) baris ke-3;
3) baris ke-2;
4) baris ke-3 dan kolom ke-4;
5) baris ke-1 dan kolom ke-3;
6) baris ke-2 dan kolom ke-1.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 52 of 194
Matriks 45
a. Lawan Suatu Matriks
Sebelum kita membahas tentang pengurangan matriks,
terlebih dahulu akan kita bicarakan mengenai lawan suatu
matriks.
Lawan suatu matriks A adalah suatu matriks yang elemen- elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A.
Secara lebih jelas, dari suatu matriks A = [aij] dapat ditentukan
lawan matriks yang ditulis dengan –A sehingga –A = [–aij].
Misalnya sebagai berikut.
Jika A = μ
3
2 1
4 3
, lawan matriks A adalah –A = μ
3
< <
< <
2 1
4 3 .
Jika B =
μ
μ
μ
3
3
3
<
<
<
1 4
2 1
3 0
, lawan matriks B adalah –B =
μ
μ
μ
3
3
3
<
<
1 4
2 1
3 0
.
b. Pengurangan terhadap Matriks
Pengurangan matriks A dan B, ditulis A – B, adalah suatu
matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen
yang bersesuaian letak dari matriks A dan B. Atau, matriks A – B
adalah matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
matriks A dengan lawan dari matriks B, yaitu
A – B = A + (–B)
dengan –B adalah lawan matriks B. Seperti halnya dengan
penjumlahan matriks, syarat agar dua matriks atau lebih dapat
dikurangkan adalah mempunyai ordo yang sama. Secara umum,
jika A = [aij] dan B = [bij] maka A – B = [aij] – [bij] = [aij – bij]
2. Pengurangan Matriks
Contoh 1:
Diketahui A = μ
3
2 6
5 3
dan B = μ
3
<
<
0 3
2 1
. Tentukan A – B.
Jawab:
Cara 1:
Karena –B = – μ
3
<
μ =
3
<
<
0 3
2 1
0 3
2 1 maka diperoleh sebagai
berikut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 53 of 194
46 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
A – B = A + (–B) = μ
3
2 6
5 3
+ μ
3
<
0 3
2 1 = μ
3
+ +
+ < +
2 0 6 3
5 ( 2) 3 1
= μ
3
2 9
3 4
Cara 2:
A – B = μ
3
2 6
5 3 – μ
3
<
<
0 3
2 1 = μ
3
< < <
< < <
2 0 6 ( 3)
5 2 3 ( 1) = μ
3
2 9
3 4
Agar kalian dapat menemukan sendiri sifat-sifat penjum- lahan matriks, lakukan Aktivitas berikut.
Contoh 2:
Hitunglah X jika diketahui μ
3
<
4 3
6 5
+ X = μ
3
10 0
2 3 .
Jawab:
X = 2 3
10 0
3
μ – μ
3
<
4 3
6 5 = μ
3
<
<
6 3
4 8
3. Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks
Aktivitas
Tujuan : Menemukan sifat-sifat penjumlahan
matriks
Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada
penjumlahan matriks?
Kegiatan : Kerjakan soal-soal berikut di buku tugas.
1. Diketahui matriks A = μ
3
2 5
3 1 ,
B = μ
3
<1 5
4 2
, dan C = μ
3
<
7 8
6 5 .
Tentukan hasil penjumlahan berikut,
kemudian tentukan sifat apa yang
berlaku.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 54 of 194
Matriks 47
Berdasarkan Aktivitas di atas dapat ditemukan sifat-sifat
penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut.
Jika A, B, dan C matriks-matriks yang berordo sama maka pada
penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut.
a. A + B = B + A (sifat komutatif)
b. (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)
c. Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga
A + O = O + A = A.
d. Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A + (–A) = (–A) + A = O.
a. A + B c. (A + B) + C
b. B + A d. A + (B + C)
2. Untuk matriks A = μ
3
<
<
2 2 7
3 1 5
dan
O = μ
3
0 0 0
0 0 0
, ordo A adalah 2 × 3 dan
ordo O adalah 2 × 3, apakah A + O =
O + A? Apakah A + O = O + A berlaku
untuk semua matriks yang dapat
dijumlahkan?
3. Diketahui matriks A = μ
3
< <
<
5 7 4
2 6 8 .
Tentukan A + (–A) dan (–A) + A. Matriks
apakah yang kalian peroleh?
Kesimpulan : Berdasarkan kegiatan di atas, sifat apa saja
yang kalian peroleh?
Perhatian
Untuk pengurangan matriks
tidak berlaku sifat komu- tatif, sifat asosiatif, dan
tidak mempunyai unsur
identitas.
Mari
Berdiskusi
Inkuiri
Coba kalian buktikan sifat-sifat penjumlahan matriks di atas,
dengan memisalkan matriks A = [aij], B = [bij], C = [cij], dan O = [oij],
untuk oij = 0. Ingat matriks A =
aa a
aa a
aa a
11 12 1
21 22 2
1 2
....
....
....
n
n
m m mn
M MMM
3
3
3
3
μ
μ
μ
μ
dapat
ditulis [aij];
i = 1, 2, 3 ... m
j = 1, 2, 3 ... n
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 55 of 194
48 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Soal Kompetensi 3
• Kerjakan di buku tugas
1. Diketahui matriks A =
μ
μ
μ
3
3
3
<
<
1 6
2 4
3 5
dan B =
μ
μ
μ
3
3
3
<
7 3
5 0
2 1
.
Tentukan
a. A + B; d. AT
– BT
;
b. A – B; e. B – A;
c. AT
+ BT
; f. BT
– AT
.
2. Diketahui matriks P = μ
3
<
6 8
5 7 , Q = μ
3
<
2 0
3 1
, dan
R = μ
3
< 3 <5
0 4 .
Tentukan
a. P + Q; e. P – (Q + R);
b. Q – P; f. (P + Q) – (P + R);
c. P – R; g. (P + Q + R)
T
;
d. (P + Q) – R; h. (P + Q)
T
+ RT
.
3. Tentukan lawan dari matriks-matriks berikut.
a. A = [ ] 3 45 < d. D =
< <
< <
< <
3
3
3
μ
μ
μ
2 58
3 69
4 7 10
b. B = 2 0
<1 3
3
μ e. E =
<
3
3
3
μ
μ
μ
317
2 58
0 61
c. C = 410 4
25 3 1
<
< <<
3
μ
4. Carilah nilai a, b, c, dan/atau d yang memenuhi persamaan
berikut.
a. [ ] abc + [ ] <567 = [ ] 32 1<
b.
μ
μ
μ
3
3
3
c
b
a
2
3
+
μ
μ
μ
3
3
3
<
4
5
10
=
μ
μ
μ
3
3
3
<
6
3
2
c. μ
3
< c d
a b
2
3 – μ
3
5 3
16 10 = μ
3
<
<
6 3
12 4
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 56 of 194
Matriks 49
d. μ
3
+
<
2 1 5
3 4
c
a – μ
3
<
a d
b
2 3
2 = μ
3
<
<
5 16
7 5
5. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut.
a. X = μ
3
<
2 0
5 1
+ μ
3
<1 4
3 2 – μ
3
<
1 0
3 2
b. μ
3
<
4 10
5 7
+ X = μ
3
<
<
8 4
6 12
c. μ
3
<
a a
a a
7 9
4 5 – X = μ
3
a < a
a a
6 4
2 3
d. XT
– μ
3
<
<
9 10
7 8 = μ
3
0 <1
4 8
6. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut.
a. μ
3
y
x
+ μ
3
<
y
2y = μ
3
<
5
1
b. μ
3
<
+
4
2 1
x
x – μ
3
< y
3y = μ
3
< 2
9
c. μ
3
+
+
10 2 1
4 5
x
x
+ μ
3
y
y
6 3
3 = μ
3
16 <1
4 8
d. μ
3
+
<
3 1 2
6 2 3
x
x – μ
3
<
< +
2 1 4
2 4 2
y
y = μ
3
< 7 <2
4 5
7. Diketahui
5 5
3
1
3
<
<
3
μ + <
<
3
μ b
d
b = 2 1
1
2 1
4 3
c
c a +
3
μ + <
3
μ.
Tentukan nilai
a. a;
b. b;
c. c;
d. d;
e. a + b + c;
f. 3a + 4b – d;
g. 5a – 4b2
;
h. a2
+ 2b – c.
8. Tabel berikut menunjukkan nilai ujian yang diperoleh Nia
dan Doni untuk mata pelajaran Matematika, Sejarah, TIK,
dan Bahasa Inggris.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 57 of 194
50 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Mata Pelajaran Ujian Ke-1 Ujian Ke-2 Ujian Ke-3
Nia Doni Nia Doni Nia Doni
Matematika 96 75 80 83 95 93
Sejarah 67 73 81 87 68 75
TIK 76 79 82 81 85 86
Bahasa Inggris 84 81 94 97 93 88
a. Misalkan matriks A menyatakan ujian ke-1, matriks B
menyatakan ujian ke-2, dan matriks C menyatakan ujian
ke-3. Nyatakan nilai-nilai tersebut dalam bentuk matriks.
b. Tentukan hasil A + B + C.
c. Untuk mata pelajaran apakah jumlah nilai Doni lebih
tinggi dari nilai Nia?
9. Vina dan Adi belanja barang-barang keperluan sekolah di
toko yang sama. Vina membeli 2 buku dan 3 pena dengan
membayar Rp6.000,00. Adi membeli 4 buku dan 3 pena
dengan membayar Rp9.000,00. Nyatakan jumlah barang- barang yang dibeli kedua anak tersebut dalam matriks.
Nyatakan pula harga-harga barang itu dalam suatu matriks.
Dapatkah matriks jumlah barang dan matriks harga-harga
barang di atas dijumlahkan? Mengapa?
10. Berikut diberikan daftar harga barang kebutuhan pokok (per
kg) dalam 4 hari di 3 toko yang berbeda dalam rupiah.
a. Nyatakan daftar harga barang kebutuhan pokok di atas
dalam bentuk matriks.
b. Tentukan jumlah harga barang selama 4 hari berturut- turut.
c. Dari hasil b, harga barang apakah dan di toko manakah
yang paling murah dan paling mahal?
Gandum 4.100 4.100 4.000 4.200 4.200 4.000 4.100 4.000 4.000 4.300 4.250 4.100
Beras 5.200 5.050 5.100 5.400 5.100 5.200 5.300 5.400 5.150 5.000 5.100 5.050
Minyak 7.700 7.300 7.400 7.600 7.400 7.100 7.500 7.500 7.300 7.400 7.100 7.200
goreng
Nama
Barang
Minggu Senin Selasa Rabu
Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C
D. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks
1. Pengertian Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks
Misalkan A suatu matriks berordo m × n dan k suatu skalar
bilangan real. Matriks B = kA dapat diperoleh dengan cara
mengalikan semua elemen A dengan bilangan k, ditulis sebagai
berikut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 58 of 194
Matriks 51
B = k
aa a
aa a
aa a
11 12 1
21 22 2
1 2
....
....
....
n
n
m m mn
M MMM
3
3
3
3
μ
μ
μ
μ
=
ka ka ka
ka ka ka
ka ka ka
11 12 1
21 22 2
1 2
....
....
....
n
n
m m mn
M MMM
3
3
3
3
μ
μ
μ
μ
Contoh:
Diketahui A = μ
3
< 3 2
5 1
dan B = μ
3
< 2 8
4 6 .
Tentukan
a. 3A; b. 6B; c. –3A + 2B.
Jawab:
a. 3A = 3 μ
3
< 3 2
5 1 = μ
3
3(<3) 3(2)
3(5) 3(1) = μ
3
< 9 6
15 3
b. 6B = 6 μ
3
< 2 8
4 6 = μ
3
6(<2) 6(8)
6(4) 6(6) = μ
3
<12 48
24 36
c. –3A + 2B = –3 μ
3
< 3 2
5 1
+ 2 μ
3
< 2 8
4 6
= μ
3
< < <
< <
3( 3) 3(2)
3(5) 3(1)
+ μ
3
2(<2) 2(8)
2(4) 2(6)
= μ
3
<
< <
9 6
15 3
+ μ
3
< 4 16
8 12 = μ
3
<
5 10
7 9
2. Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Real (Skalar) dengan Matriks
Perkalian bilangan real (skalar) dengan suatu matriks dapat
dilakukan tanpa syarat tertentu. Artinya, semua matriks dengan
ordo sembarang dapat dikalikan dengan bilangan real (skalar).
Misalkan A dan B matriks-matriks berordo m × n serta k1
dan k2
bilangan real (skalar), berlaku sifat-sifat berikut.
a. k1
(A + B) = k1
A + k1
B
b. (k1
+ k2
)A = k1
A + k2
A
c. k1
(k2
A) = (k1
k2
) A
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 59 of 194
52 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Bukti
Di buku ini, hanya akan dibuktikan sifat a. Misalkan k1
skalar, A
dan B matriks berordo m × n.
A
aa a
aa a
aa a
B
bb b
bb b
bb b
n
n
m m mn
n
n
m m mn
=
£
¤
2
2
2
2
¥
¦
́
́
́
́
=
£
¤
2
2
2
2
¥
¦
́
́
́
́
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1
21 22 2
1 2
K
K
M MKM
K
K
K
M MKM
K
, dan
k1
(A + B) = k1
aa a
aa a
aa a
bb b
bb b
bb b
n
n
m m mn
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1
21 22 2
1 2
K
K
M MKM
K
K
K
M MKM
K
£
¤
2
2
2
2
¥
¦
́
́
́
́
+
£
¤
2
2
2
2
¥
¦
́
́
́
́
3
3
3
3
3
μ
μ
μ
μ
μ
= k1
ab ab ab
ab ab ab
abab ab
n n
n n
m m m m mn mn
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
11 2 2
++ +
++ +
++ +
£
¤
2
2
2
2
¥
¦
́
́
́
́
L
L
MM M
L
=
ka b ka b ka b
ka b ka b ka b
ka b ka b ka b
n n
n n
m m m m mn mn
1 11 11 1 12 12 1 1 1
1 21 21 1 22 22 1 2 2
11 1 12 2 1
( + ) ( + ) ( + )
( + ) ( + ) ( + )
( + ) ( + ) ( + )
£
¤
2
2
2
2
¥
¦
́
́
́
́
L
L
MM M
L
=
ka kb ka kb ka kb
ka kb ka kb ka kb
ka kb ka kb ka kb
n n
n n
m m m m mn mn
1 11 1 11 1 12 1 12 1 1 1 1
1 21 1 21 1 22 1 22 1 2 1 2
11 11 1 2 12 1 1
++ +
++ +
++ +
£
¤
2
2
2
2
¥
¦
́
́
́
́
L
L
MM M
L
=
ka ka ka
ka ka ka
ka ka ka
kb kb kb
kb kb kb
kb kb kb
n
n
m m mn
n
n
m m mn
1 11 1 12 1 1
1 22 1 21 1 2
11 12 1
1 11 1 12 1 1
1 21 1 22 1 2
11 12 1
K
K
M MKM
K
K
K
M MKM
K
£
¤
2
2
2
2
¥
¦
́
́
́
́
+
£
¤
2
2
2
2
¥
¦
́
́
́
́
=
k
aa a
aa a
aa a
k
bb b
bb b
bb b
n
n
m m mn
n
n
m m mn
1
11 12 1
22 21 2
1 2
1
11 12 1
21 22 2
1 2
K
K
M MKM
K
K
K
M MKM
K
£
¤
2
2
2
2
¥
¦
́
́
́
́
+
£
¤
2
2
2
2
¥
¦
́
́
́
́
= k1 A + k1 B ................................................ (terbukti)
Kuis
• Kerjakan di buku tugas
Diketahui persamaan ma- triks berikut.
x y
z
2
5
2
1
6
5
7
21
< 2 1
3
3
3
μ
μ
μ
+
<
<
3
3
3
μ
μ
μ
=
<
<
<
3
3
3
μ
μ
μ
.
Nilai z = ....
a. –2
b. 0
c. 3
d. 6
e. 30
UMPTN 1999
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 60 of 194
Matriks 53
Cara membuktikan sifat ini dapat juga dilakukan sebagai berikut.
Misalkan matriks A = [aij] dan B = [bij], dengan i = 1, 2, ..., m
dan j = 1, 2, ..., n.
k1
(A + B) = k1
([aij] + [bij])
= k1
([aij + bij])
= [k1
(aij + bij)]
= [k1
aij + k1
bij]
= [k1
aij] + [k1
bij]
= k1
[aij] + k1
[bij]
= k1
A + k1
B .............................................. (terbukti)
Soal Kompetensi 4
• Kerjakan di buku tugas
1. Diketahui A = μ
3
< <
<
6 7 2
5 8 3 . Tentukan hasil operasi
matriks berikut.
a. 3A c. 4AT
b. AT d. 5A + 2A
2. Diketahui A = μ
3
< 2 <10
4 8
dan B = μ
3
<
<
0 2
1 1 . Tentukan
hasil operasi matriks berikut.
a. 2A + B
b.
2
1
A – B
c. 3AT
+ BT
d. 4AT
+ A – B
e. AT
+ B
f. (AT
+ 2BT
)
3. Tentukan X jika diketahui
a. 2X – μ
3
5 <6
2 1 = μ
3
<
<
11 8
6 7
;
b. 2XT
+
μ
μ
μ
3
3
3
<
<
8 2 8
2 3 7
6 1 5
=
μ
μ
μ
3
3
3
<
<
<
2 4 6
0 1 5
10 3 7
;
c.
3
1
μ
3
<
<
3 12 0
6 9 6 = XT
;
d.
3
1
X =
μ
μ
μ
3
3
3
< <
12 3
9 3
6 15
3
2 .
Tugas: Eksplorasi
• Kerjakan di buku tugas
Buktikan kebenaran sifat- sifat perkalian skalar dengan
matriks b dan c di atas.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 61 of 194
54 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
4. Tentukan nilai p, q, r, dan s yang memenuhi persamaan
berikut.
a. 5
2
2 1
p q
<
3
μ = μ
3
<
25 5
10 20
b. μ
3
< 5
3 2
2
1
r
q p = μ
3
< 4 2s
9 1
c. μ
3
< p
p r
3
6 4 = μ
3
+
< <
3 r 2q
4 8
3
d. μ
3
< +
<
r s r
2p q 2 = μ
μ
3
3
< p < q
q
2
1
4 4
5. Tentukan nilai p, q, r, dan s jika diketahui persamaan
berikut.
3
6
1 25
4
3
p q
r s
p pq
r s
3
μ = <
3
μ +
+
+
3
μ
6. Diketahui x y
z
2
5
2
1
6
5
7
21
< 2 1
3
3
3
μ
μ
μ
+
<
<
3
3
3
μ
μ
μ
=
<
<
<
3
3
3
μ
μ
μ
. Tentukan nilai z.
7. Diketahui x x
y
2
3
3
1
12
2
12
3
μ + <
3
μ = <
3
μ. Tentukan nilai y.
8. Diketahui matriks A = 6
1
3
μ, B = 3
1
3
μ, dan C = 18
5
3
μ.
Jika Ax + By = C, tentukan titik potong koordinat yang
terjadi antara dua buah persamaan garis yang terbentuk.
9. Diketahui persamaan x y
z
2
5
2
1
6
5
7
21
< 2 1
3
3
3
μ
μ
μ
<
3
3
3
μ
μ
μ
=
<
<
<
3
3
3
μ
μ
μ
. Tentukan
nilai x, y, dan z.
10. Jika x0
dan y0
memenuhi persamaan 4 16 0
3 4 70
x y
x y
< + =
+ < =
̈
©
a
dan
x0
= p
3x y 0 0 < maka tentukanlah nilai-nilai berikut.
a. x0
, y0
, dan p c. 3y0
+ p
b. 4y0
+ x0 d. 6x0
– 2y0
+ p
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 62 of 194
Matriks 55
E. Perkalian Matriks
1. Pengertian Perkalian Matriks
Untuk memahami pengertian perkalian matriks, perhatikan
ilustrasi berikut ini. Rina membeli bolpoin dan buku di dua tempat
yang berbeda. Di toko I, ia membeli 3 bolpoin dan 2 buku,
sedangkan di toko II, ia membeli 4 bolpoin dan 3 buku. Harga
bolpoin dan buku di kedua toko tersebut sama, yaitu Rp2.500,00
dan Rp4.000,00 per buah. Berapa uang yang dikeluarkan Rina?
Untuk menghitung jumlah uang yang dibayar oleh Rina
dapat langsung kita hitung dengan cara mengalikan banyaknya
barang dengan harga masing-masing sebagai berikut.
Tempat Bolpoin Buku
Toko I 3 2
Toko II 4 3
Barang Harga
Bolpoin Rp2.500,00
Buku Rp4.000,00
Toko I : (3 × Rp2.500,00) + (2 × Rp4.000,00) = Rp15.500,00
Toko II : (4 × Rp2.500,00) + (3 × Rp4.000,00) = Rp22.000,00
Di samping itu, pernyataan di atas dapat disajikan dalam bentuk
matriks sebagai berikut.
P = μ
3
4 3
3 2
menyatakan banyak bolpoin dan buku yang dibeli
Rina. Baris 1 menyatakan toko I dan baris 2 untuk toko II.
Q = μ
3
4.000
2.500
menyatakan harga masing-masing bolpoin dan buku.
Daftar jumlah uang yang dikeluarkan Rina dapat dilihat pada
tabel berikut.
Tempat Harga Pembelian
Toko I 3 × Rp2.500,00 + 2 × Rp4.000,00 = Rp15.500,00
Toko II 4 × Rp2.500,00 + 3 × Rp4.000,00 = Rp22.000,00
Tabel pengeluaran di atas bersesuaian dengan perkalian
matriks P × Q, yaitu
P × Q = 3 2
4 3
3
μ μ
3
4.000
2.500 = 3 2 500
4 2 500
2 4.000
3 4.000
× +×
× +×
3
μ
.
.
= 15 500
22 000
.
.
3
μ.
Kuis
• Kerjakan di buku tugas
Jika diketahui
m n
2 3
1 2
4 3
24 23
14 13
3
μ
3
μ =
3
μ
maka nilai m dan n masing- masing adalah ....
a. 4 dan 6
b. 5 dan 4
c. 5 dan 3
d. 4 dan 5
e. 3 dan 7
UMPTN 1998
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 63 of 194
56 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Contoh:
Dari uraian di atas, matriks P berordo 2 × 2 dan matriks Q
berordo 2 × 1, sedangkan P × Q berordo 2 × 1 sehingga bagan
perkalian dan hasil kalinya mempunyai hubungan sebagai berikut.
ordo hasil kali
(2 × 2) (2 × 1) = (2 × 1)
sama
Secara umum, perkalian matriks didefinisikan sebagai berikut.
Misalkan A matriks berordo m × p dan B matriks berordo p × n
maka A × B adalah suatu matriks C = [cij] berordo m × n
yang elemen-elemennya pada baris ke-i, yaitu kolom ke-j (cij)
diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen yang
bersesuaian pada baris ke-i matriks A dan kolom ke-j matriks B.
Diketahui matriks A = μ
3
<1
2 , B = [ ] <3 2 , C = μ
3
<1 4
2 3
, dan
D = μ
3
< <
2 6 1
4 5 1 .
Tentukan
a. A × B; c. C × D;
b. B × C; d. A × C.
Jawab:
a. A × B = 2
1
3 2 <
3
μ [ ] < = μ
3
< < <
<
1( 3) 1(2)
2( 3) 2(2) = μ
3
<
<
3 2
6 4
Bagaimana hasil perkalian dari B × A?
b. B × C = [ ] <3 2 μ
3
<1 4
2 3
= [(–3 × 2) + (2 × (–1)) (–3 × 3) + (2 × 4)]
= [ ] < < 8 1
Bagaimana hasil perkalian dari C × B?
c. C × D
= μ
3
<1 4
2 3
μ
3
< <
2 6 1
4 5 1
= μ
3
< × + × < × < + × < × < + ×
× + × × < + × × < + ×
( 1 4) (4 2) ( 1 ( 5) 4 6) ( 1 ( 1) 4 1)
(2 4) (3 2) (2 ( 5) 3 6 (2 ( 1) 3 1)
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 64 of 194
Matriks 57
Syarat dua matriks dapat dikalikan adalah jika banyak kolom
matriks kiri sama dengan banyak baris matriks kanan. Jika
perkalian A × B ada (dapat dikalikan) maka dikatakan bahwa
a. matriks B dikali dari kiri oleh matriks A;
b. matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.
d. A × C = μ
3
<1
2
μ
3
<1 4
2 3
tidak dapat dikalikan karena
banyak kolom matriks A tidak sama dengan banyak baris
matriks C.
2. Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dari Kanan
Contoh:
Diketahui matriks A = μ
3
<
1 3
4 2
dan B = μ
3
4 < 2
2 3 .
Tentukan hasil perkalian
a. matriks A dikali dari kiri oleh matriks B;
b. matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.
Jawab:
a. Matriks A dikalikan dari kiri oleh matriks B, berarti
B × A = μ
3
4 < 2
2 3
μ
3
<
1 3
4 2 = μ
3
14 <14
11 5 .
b. Matriks A dikalikan dari kanan oleh matriks B, berarti
A × B = μ
3
<
1 3
4 2
μ
3
4 < 2
2 3 = μ
3
14 <3
0 16 .
Tampak dari hasil di atas bahwa A × B & B × A, artinya
perkalian matriks tidak bersifat komutatif.
3. Sifat-Sifat Perkalian Matriks
Misalkan matriks A, B, dan C dapat dikalikan atau
dijumlahkan. Untuk memahami sifat-sifat perkalian matriks,
lakukan Aktivitas berikut.
Aktivitas Tujuan : Menemukan sifat-sifat perkalian matriks.
Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada
perkalian matriks?
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 65 of 194
58 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Berdasarkan Aktivitas di atas ditentukan sifat-sifat perkalian
matriks sebagai berikut.
Kegiatan : Kerjakan (selidiki) soal berikut di buku tugas.
Diketahui matriks A = μ
3
< 2 0
1 2 , B =
μ
3
<
4 5
2 3
, dan C = μ
3
<
1 0
2 3
. Jika k = 2,
tentukan hasil perhitungan berikut.
a. A × B dan B × A. Apakah A × B = B × A?
Apa kesimpulanmu?
b. (A × B) × C dan A × (B × C).
Apakah hasilnya sama? Apa kesim- pulanmu?
c. A × (B + C), (C × B) + (A × C), dan
(A × C) + (A × B).
Bagaimana hubungan ketiga operasi
perkalian matriks tersebut?
d. A × I dan I × A dengan I matriks
identitas.
Hubungan apa yang terbentuk?
e. A × O dan O × A dengan O matriks nol
ordo 2 × 2.
Apakah A × O = O × A = O?
f. (kA) × B dan k(A × B). Apakah (kA) × B
= k(A × B)?
Kesimpulan : Sifat-sifat apakah yang kalian temukan dari
kegiatan di atas?
Kuis
• Kerjakan di buku tugas
Diketahui matriks A =
x
y
1
<1
3
μ; B = 3 2
1 0
3
μ;
C = 1 0
< < 1 2
3
μ.
Nilai x + y yang memenuhi
persamaan AB – 2B = C
adalah ....
a. 0
b. 2
c. 6
d. 8
e. 10
UMPTN 1998
Kuis
• Kerjakan di buku tugas
Jika diketahui
4 2
3 2
6 8
11 6
x <
3
μ + <
< <
3
μ =
2
3 1
2 4
0 3
< 1 1
3
μ + <
3
μ maka
nilai x adalah ....
a. 0
b. 10
c. 13
d. 14
e. 25
UMPTN 1998
Jika k bilangan real (skalar); A, B, dan C matriks yang dapat
dikalikan; serta B dan C dapat dijumlahkan maka berlaku
sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut.
a. Tidak komutatif, yaitu A × B & B × A.
b. Asosiatif, yaitu (A × B) × C = A × (B × C).
c. Distributif, yaitu:
1) distributif kiri: A × (B + C) = (A × B) + (A × C);
2) distributif kanan: (A + B) × C = (A × C) + (B × C).
d. Perkalian matriks-matriks persegi dengan matriks
identitas I, yaitu A × I = I × A = A (ordo I sama dengan
ordo matriks A).
e. Perkalian dengan matriks O, yaitu A × O = O × A = O.
f. Perkalian dengan skalar, yaitu (k A) × B = k(A × B).
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 66 of 194
Matriks 59
Aktivitas Tujuan : Menentukan hasil perkalian matriks
dengan bantuan software komputer.
Permasalahan : Bagaimana cara menentukan hasil
perkalian matriks dengan menggunakan
software komputer?
Kegiatan : Kita akan menentukan matriks invers
dengan Microsoft Excel. Fungsi yang
digunakan adalah MMULT. Misalnya,
akan ditentukan hasil perkalian matriks
1 2
3 4
1 4
5 6
3
μ
3
μ.
Untuk itu lakukan langkah-langkah berikut.
1. Masukkan elemen-elemen matriks
pada sel-sel Microsoft Excel.
2. Tentukan hasil kali matriks A dengan
B. Caranya adalah sebagai berikut.
Blok sel-sel yang akan ditempati
elemen-elemen matriks hasil kali dari
matriks A dan B. Ketik “ = MMULT(”,
kemudian sorot sel-sel yang mengan- dung matriks A tadi. Kemudian, ketik
“;”. Sorot sel-sel yang mengandung
elemen-elemen matriks B diikuti
dengan mengetik “)”. Tekan CTRL +
SHIFT + ENTER maka matriks hasil
kali dari A dan B akan muncul.
Kesimpulan : Jika kalian melakukan langkah-langkah
yang diinstruksikan dengan benar, kalian
akan memperoleh hasil berikut.
Tantangan
Eksplorasi
• Kerjakan di buku tugas
Misalkan diberikan matriks
A =
1 11
32 1
21 0
<
< <
<
3
3
3
μ
μ
μ
dan
B =
123
246
123
3
3
3
μ
μ
μ
.
Tunjukkan bahwa hasil
perkalian AB adalah matriks
nol.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 67 of 194
60 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
4. Perpangkatan Matriks Persegi
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks
persegi, maka An
= A × A × A × ... × A (sebanyak n faktor) atau
dapat juga dituliskan An
= A × An–1 atau An
= An–1 × A.
Contoh:
Diketahui matriks A = μ
3
<
<
1 3
1 2
. Tentukan
a. A2
; b. A3
; c. 2A4
.
Jawab:
a. A2
= A × A = μ
3
<
<
1 3
1 2
μ
3
<
<
1 3
1 2 = μ
3
<
<
4 11
3 8
b. A3
= A × A2
= μ
3
<
<
1 3
1 2
μ
3
<
<
4 11
3 8 = μ
3
<
<
15 41
11 30
Dengan cara lain, yaitu A3
= A2 × A, diperoleh
A3
= A2 × A = μ
3
<
<
μ =
3
<
<
μ
3
<
<
15 41
11 30
1 3
1 2
4 11
3 8
Ternyata, A2 × A = A × A2
= A3
.
c. 2A4
= 2A × A3
= 2 μ
3
<
<
1 3
1 2
μ
3
<
<
15 41
11 30
= 2 41 112
56 153
<
<
3
μ
= μ
3
<
<
112 306
82 224
Tantangan
Eksplorasi
• Kerjakan di buku tugas
Selidiki, manakah pernyata- an berikut yang benar.
Misalkan A dan B matriks
persegi.
a. AB2
= BAB
b. A2
– B2
= (A + B)(A – B)
c. (A2
)2
= A4
Tugas: Observasi
• Kerjakan di buku tugas
Dari soal pada contoh di
atas, coba selidiki, apakah
2A3 × A = 2A2 × A2
= 2A × A3
?
Soal Kompetensi 5
• Kerjakan di buku tugas
1. Hitunglah perkalian matriks-matriks berikut.
a. 1 24
5
6
4
[ ] < <
<
3
3
3
μ
μ
μ
b. μ
3
<
< μ
3
<
6 2
2 1
3 1
5 4
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 68 of 194
Matriks 61
c.
μ
μ
μ
3
3
3
<
<
μ
3
<
<
7 5
4 0
1 1
2 3 6
10 1 5
Tantangan
Inkuiri
• Kerjakan di buku tugas
Diberikan A = i
i
0
0
3
μ
dengan i = <1. Tunjukkan
bahwa
a. A4
= I
b. A5
= A
c. A6
= –I
d. A7
= –A
untuk I = 1 0
0 1
3
μ.
d.
<
3
3
3
μ
μ
μ
[ ] <
3
4
2
5 41
2. Diketahui matriks A = μ
3
<
1 2
2 3 dan I matriks identitas.
Tentukan
a. A2
; d. A3 + I;
b. 3A2
+ I; e. A2
– 2A + I.
c. A × AT
;
3. Diketahui matriks U = μ
3
<
<
3 1
2 1 , V = μ
3
<1 0
2 3 , dan
W = μ
3
<
4 2
5 3 .
Tentukan
a. (U × V) × W; d. UT × VT × W;
b. UT × (V × W); e. UT × (V × W)T
;
c. (U × V)T × W; f. W × U × VT
.
4. Tentukan nilai dari a dan b yang memenuhi persamaan
matriks berikut.
a. μ
3
<
μ
3
<
4
3
3
2
b
a = μ
3
<
5
14
b. μ
3
μ
3
<
b a
a 6
4
3 2 = μ
3
< 8
16
c. μ
3
<
μ
3
<
+
3
2
3 3
2 1
b a
a a = μ
3
<
20
4
d. μ
3
μ
3
<
<
b
a
4 2
2 1 = μ
3
< 9
16
e. μ
3
μ
3
<
b
a
3 1
2 4 = μ
3
< 9
16
f. μ
3
μ
3
b
a b
a
a
0 5 2
2 1 = μ
3
<
<
4 4
13 4
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 69 of 194
62 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
5. Misalkan A dan B matriks-matriks yang dapat dikalikan serta
A dan C juga dapat dikalikan. Apakah berlaku jika A × B =
A × C maka B = C? Tunjukkan dengan contoh dan berikan
alasanmu.
6. Jika diketahui
a b
<
3
μ
<
3
μ = <
3
μ 3 2
5 2
4 3
2 13
7 12 , tentukan nilai
a2
+ b2
.
7. Jika titik A merupakan perpotongan dua garis yang disajikan
oleh persamaan matriks
1 1
1 1
1
1
<
3
μ
3
μ = <
3
μ
x
y
, tentukan
koordinat titik A.
8. Jika titik B merupakan perpotongan dua garis yang disajikan
oleh persamaan matriks
1 2
3 2
4
8
<
3
μ
3
μ =
3
μ
x
y
dan garis k
(k dan l) adalah garis yang melalui titik B dan titik asal O,
tentukan persamaan garis k yang melalui C(–2, 3) dan sejajar
garis l.
9. Diketahui matriks P =
μ
μ
μ
3
3
3
<
5 2 1
1 3 0
2 4 1
dan Q =
μ
μ
μ
3
3
3
<
<
0 1 4
2 1 2
1 3 0
.
Tentukan hasil perkalian matriks berikut.
a. P × Q
b. P2
c. (P + Q) × (P – Q)
d. QT × (P + Q)T
e. (P × Q)T × P
f. PT × (P – Q)T
10. Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
2x + 3y + z = 6
4x – 3y + z = 2
x – y – z = –1
Susunlah sistem persamaan itu dalam bentuk persamaan
matriks. (Ingat aturan perkalian matriks)
Kuis
• Kerjakan di buku tugas
Nilai p yang memenuhi
persamaan matriks
2
2 1
1 3
6 2
< 4 1
3
μ + <
<
3
μ
p
= 2 1
1 1
0 1
2 4
<
3
μ +
3
μ adalah
....
a. –2
b. –1
c. 0
d. 1
e. 2
SPMB 2004
F. Invers Suatu Matriks
Dua hal penting yang diperlukan dalam mencari invers
matriks adalah transpose dan determinan suatu matriks. Pada
subbab sebelumnya, kalian telah mempelajari transpose matriks.
Sekarang, kita akan mempelajari determinan matriks.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 70 of 194
Matriks 63
a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2
Misalkan A = μ
3
c d
a b
adalah matriks yang berordo 2 × 2
dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama,
sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan
matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang
diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada
diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.
Dengan demikian, dapat diperoleh rumus
det A sebagai berikut.
det A = a b
c d = ad – bc
1. Determinan Suatu Matriks
Contoh: Tentukan determinan matriks-matriks berikut.
a. A = μ
3
4 3
5 2
b. B = μ
3
< <
3 2
4 1
Jawab:
a. det A = 5 2
4 3 = (5 × 3) – (2 × 4) = 7
b. det B = < < 4 1
3 2 = ((–4) × 2) – (3 × (–1)) = – 5
b. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)
Jika A =
μ
μ
μ
3
3
3
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
adalah matriks persegi berordo
3 × 3, determinan A dinyatakan dengan det A =
aaa
aaa
aaa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
.
Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan
determinan matriks berordo 3 × 3, yaitu aturan Sarrus dan
metode minor-kofaktor.
Perhatian
Determinan matriks ditulis
dengan tanda garis lurus,
bukan tanda kurung siku.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 71 of 194
64 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Aturan Sarrus
Untuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus,
perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitung
determinan matriks A3×3 . Gambaran perhitungannya adalah
sebagai berikut.
det A =
aaa
aaa
aaa
a a
a a
a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12
21 22
31 32
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
– a11 a23 a32 – a12 a21 a33
Metode Minor-Kofaktor
Misalkan matriks A dituliskan dengan [aij]. Minor elemen
aij yang dinotasikan dengan Mij adalah determinan setelah
elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya,
dari matriks A3 x 3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga
A =
μ
μ
μ
3
3
3
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
Akan diperoleh M21 = a a
a a
12 13
32 33
. M21 adalah minor dari elemen
matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M21 = minor a21. Sejalan
dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya
M13 = a a
a a
21 12
31 32
Kofaktor elemen aij, dinotasikan Kij adalah hasil kali (–1)i+j dengan
minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks
dirumuskan dengan
Kij = (–1)i+j Mij
Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan a13
berturut-turut adalah
K21 = (–1)2+1 M21 = –M21 = a a
a a
12 13
32 33
– – – + + +
>
>
>
>
>
>
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 72 of 194
Matriks 65
K13 = (–1)1+3 M13 = M13 = a a
a a
21 22
31 32
Kofaktor dari matriks A3x3 adalah kof(A) =
μ
μ
μ
3
3
3
31 32 33
21 22 23
11 12 13
K K K
K K K
K K K
.
Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan
dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan
kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih
dahulu sebuah baris (atau kolom), kemudian kita gunakan aturan
di atas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut.
Misalkan diketahui matriks A =
μ
μ
μ
3
3
3
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
.
Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut.
Kita pilih baris pertama sehingga
det A = a11 K11 + a12 K12 + a13 K13
= a11 (–1)1+1 M11 + a12 (–1)1+2 M12 + a13 (–1)1+3 M13
= a11
a a
a a
22 23
32 33
– a
a a
a a
12
21 23
31 33
+ a
a a
a a
13
21 22
31 32
= a11(a22 a33 – a32 a23) – a12(a21 a33 – a31 a23)
+ a13(a21 a32 – a31 a22)
= a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
– a13 a22 a31
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32
– a12 a21 a33
Tampak bahwa det A matriks ordo 3 × 3 yang diselesaikan dengan
cara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A menggunakan
cara Sarrus.
Tugas: Inkuiri
• Kerjakan di buku tugas
Coba kalian tentukan deter- minan matriks A menurut
baris kedua dan ketiga.
Kemudian, tentukan pula
determinan menurut kolom
ke-1, ke-2, dan ke-3. Apakah
hasilnya sama?
Contoh:
Tentukan determinan dari matriks A =
μ
μ
μ
3
3
3
3 1 2
2 1 4
1 2 3
dengan
aturan Sarrus dan minor-kofaktor.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 73 of 194
66 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Jawab:
Cara 1: (Aturan Sarrus)
det A =
123
214
312
= (1 × 1 × 2) + (2 × 4 × 3) + (3 × 2 × 1) – (3 × 1 × 3)
– (1 × 4 × 1) – (2 × 2 × 2)
= 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8
= 11
Cara 2: (Minor-kofaktor)
Misalnya kita pilih perhitungan menurut baris pertama
sehingga diperoleh
det A = 1
1 4
1 2
2
2 4
3 2
3
2 1
3 1 < +
= –2 – 2(–8) + 3(–1)
= –2 + 16 – 3 = 11
Coba kalian selidiki nilai determinan ini dengan cara lain.
Apakah hasilnya sama?
c. Sifat-Sifat Determinan Matriks
Berikut disajikan beberapa sifat determinan matriks.
1) Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan
nol maka determinan matriks itu nol.
Misal A = 0 0
2 3
3
μ A| | A = 0; B =
231
000
542
3
3
3
μ
μ
μ
A| | B = 0.
2) Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan
elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks
itu nol.
Misal B =
432
578
432
3
3
3
μ
μ
μ
A| | B = 0 (Karena elemen-elemen baris
ke-1 dan ke-3 sama).
3) Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan
kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka
determinan matriks itu nol.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 74 of 194
Matriks 67
Misal A =
123
570
246
3
3
3
μ
μ
μ
A |A| = 0 (Karena elemen-elemen
baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).
4. |AB| = |A| ×|B|
5. |AT
| = |A|, untuk AT
adalah transpose dari matriks A.
6. |A–1| = 1
| | A
, untuk A–1 adalah invers dari matriks A (invers
akan dijelaskan berikutnya).
7. |kA| = kn
|A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta.
Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan di sini. Pembuktian sifat-sifat
ini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.
2. Pengertian Invers Matriks
Misalkan dua matriks A dan B adalah matriks berordo n × n
dan I
n
adalah matriks identitas berordo n × n. Jika A × B = B × A = I
n
maka matriks A disebut invers matriks B, sebaliknya B disebut invers
matriks A. Dalam keadaan seperti ini maka dikatakan bahwa A dan
B saling invers.
Jika matriks A mempunyai invers, dikatakan bahwa matriks
A adalah matriks nonsingular, sedangkan jika A tidak mempunyai
invers, matriks A disebut matriks singular. Invers matriks A ditulis A–1.
Contoh:
Diketahui A = μ
3
3 2
2 1 dan B = μ
3
<
<
3 2
2 1 .
Selidiki, apakah A dan B saling invers?
Jawab:
Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I.
A × B = 2 1
3 2
2 1
3 2
3
μ
<
<
3
μ = 1 0
0 1
3
μ = I
B × A = 2 1
3 2
2 1
3 2
<
<
3
μ
3
μ = 1 0
0 1
3
μ = I
Karena A × B = B × A maka A dan B saling invers, dengan
A–1 = B dan B–1 = A.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 78 of 194
Matriks 71
Invers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapa
cara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara
adjoin dan transformasi baris elementer.
a. Dengan Adjoin
Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai
determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj(A),
yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan
kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu
adj(A) = (kof(A))T
Adjoin A dirumuskan sebagai berikut.
adj(A) = (kof(A))T
=
KKK
KKK
KKK
T
11 12 13
21 22 23
31 32 33
3
3
3
μ
μ
μ
=
KKK
KKK
KKK
11 21 31
12 22 32
13 23 33
3
3
3
μ
μ
μ
=
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
22 23
32 33
12 13
32 33
12 13
22 23
21 23
31 33
11 13
31 33
11 13
21 23
21 22
31 32
11 12
31 32
11 12
21 22
<
< <
<
3
3
3
3
3
3
3
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut.
A–1 = adj( ) det
1 A
A
Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebih
mendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.
4. Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3 (Pengayaan)
Kuis
• Kerjakan di buku tugas
Diketahui matriks B adalah
invers matriks A, matriks D
adalah invers matriks C, dan
A × B × C = D. Berikut ini
yang menghasilkan matriks
identitas (I) adalah ....
a. A2
b. B2
c. C2
d. D2
e. A × C2
Kompetisi Matematika
DKI, 2000
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 82 of 194
Matriks 75
Dari persamaan terakhir tampak bahwa kedua ruas dikalikan
dari kiri oleh A–1 sehingga diperoleh bentuk penyelesaian X = A–1B.
Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk XA = B
dapat ditentukan dengan cara mengalikan kedua ruas dari kanan
dengan A–1 sehingga diperoleh penyelesaian X = BA–1 seperti
berikut.
XA = B
(XA)A–1 = BA–1
X(AA–1) = BA–1
XI = BA–1
X = BA–1
Oleh karena itu, diperoleh penyelesaian X = BA–1 Dengan .
demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A–1B.
Penyelesaian persamaan matriks XA = B adalah X = BA–1.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Diketahui A = μ
3
5 2
8 3 dan B = μ
3
<
0 1
2 1 .
Tentukan matriks X yang memenuhi
a. AX = B;
b. XA = B.
Jawab:
Karena det A = 5 2
8 3
= 16 – 15 = 1 & 0 maka matriks A
mempunyai invers.
Jika dicari inversnya, kalian akan memperoleh
A–1 = μ
3
<
<
5 8
2 3 .
(Coba kalian tunjukkan).
Dengan demikian, dapat kita tentukan sebagai berikut.
a. AX = B X = A–1B = μ
3
<
μ
3
<
<
0 1
2 1
5 8
2 3 = 4 5
10 13
<
<
3
μ
Tugas: Eksplorasi
• Kerjakan di buku tugas
Misalkan diberikan sistem
persamaan linear berikut.
2x + 4y = 6
x + 2y = 4
Susunlah sistem persamaan
itu dalam bentuk matriks.
Kemudian, dapatkah kalian
menentukan penyelesaian
persamaan matriks yang
terbentuk? Berapa banyak
penyelesaiannya? Mengapa?
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 83 of 194
76 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Mari
Berdiskusi
Inkuiri
Misalnya diberikan persamaan dalam bentuk matriks AX = B
dan XA = B.
Matriks A dan B adalah matriks-matriks yang sudah ditentukan,
sedangkan X adalah matriks yang harus dicari.
a. Jika A dan B matriks ordo 2 × 2, syarat apakah yang harus
dipenuhi agar X dapat dicari? Berapakah ordo matriks X?
b. Jika A ordo 2 × 2 dan B ordo 2 × 1, syarat apakah yang
harus dipenuhi agar matriks X dapat dicari? Berapakah
ordo matriks X?
b. XA = B X = BA–1 = μ
3
<
< μ
3
<
5 8
2 3
0 1
2 1
= μ
3
<
<
5 8
9 14
Soal Kompetensi 6
• Kerjakan di buku tugas
1. Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut.
a. μ
3
<
<
4 5
3 2 d. μ
3
2 + 3
2
2
2
x x
x x
b. μ
3
<
2 0
8 1
e.
μ
μ
μ
3
3
3
< <
3 6 1
1 5 2
2 4 3
c. μ
3
< 5
3
x
x f.
μ
μ
μ
3
3
3
2 <3 4
1 2 6
5 2 3
2. Manakah di antara matriks-matriks berikut yang merupa- kan matriks nonsingular?
a. μ
3
5 4
2 3 d. μ
3
<
<
3 5
3 5
b. μ
3
<
2 1
4 3
e.
μ
μ
μ
3
3
3
<
<
1 2 3
2 2 5
1 2 4
c. μ
3
2 1
6 3
f.
μ
μ
μ
3
3
3
<
7 2 5
4 1 3
1 1 2
Kuis
• Kerjakan di buku tugas
Diketahui A = 2 1
4 3
3
μ dan
B = < <
3
μ
3 1
2 1 . Jika matriks
C = 3A – 2B maka
determinan matriks C sama
dengan ....
a. 50
b. 44
c. 40
d. 36
e. 32
Kompetisi Matematika
DKI, 2000
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 87 of 194
80 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Kalian tentu tahu bahwa untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapa
cara, misalnya eliminasi, substitusi, gabungan antara eliminasi
dan substitusi, operasi baris elementer, serta menggunakan invers
matriks. Kalian dapat menggunakan cara-cara tersebut dengan
bebas yang menurut kalian paling efisien dan paling mudah.
Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel
berikut.
a1
x + b1
y + c1
z = d1
a2
x + b2
y + c2
z = d2
a3
x + b3
y + c3
z = d3
Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam
bentuk matriks seperti berikut.
abc
abc
abc
x
y
z
d
d
d
111
222
333
1
2
3
3
3
3
μ
μ
μ
3
3
3
μ
μ
μ
=
3
3
3
μ
μ
μ
Misalkan A =
μ
μ
μ
3
3
3
3 3 3
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
a b c
, X =
μ
μ
μ
3
3
3
z
y
x
, dan B =
μ
μ
μ
3
3
3
3
2
1
d
d
d
.
Bentuk di atas dapat kita tuliskan sebagai AX = B.
Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A–1 B. Dalam
hal ini, A–1 = det A
1
adj(A).
Oleh karena itu, diperoleh
X = A B
A
A B
A . adj( ) det
1 . adj( ) det
1
́ = ¦
¥ 2
¤
£ ,
asalkan det A & 0.
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
berikut.
2x + y – z = 1
x + y + z = 6
x – 2y + z = 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 88 of 194
Matriks 81
Jawab:
Cara 1:
Operasi elemen baris, selain dapat digunakan untuk mencari
invers matriks, dapat pula digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear.
Dengan menggunakan operasi baris elementer.
2x + y – z = 1 x + y + z = 6 B2
– 2B1
x + y + z = 6
x + y + z = 6 B1
CB2 2x + y – z = 1 0 – y – 3z = –11
x – 2y + z = 0 x – 2y + z = 0 B3
– B1 0 – 3y + 0 = –6
–B2 x + y + z =6
– 1
3
B3
y + 3z = 11
y = 2
Dengan demikian, diperoleh y = 2. Kita substitusikan nilai y = 2
ke persamaan (2) sehingga
y + 3z = 11 2 + 3z = 11
3z = 11 – 2
3z = 9
z = 3
Substitusikan y = 2 dan z = 3 ke persamaan (1) sehingga diperoleh
x + y + z = 6 x + 2 + 3 = 6
x + 5 = 6
x = 6 – 5
x = 1
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}.
Cara 2:
Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk
matriks sebagai berikut.
Misalkan A =
μ
μ
μ
3
3
3
<
<
1 2 1
1 1 1
2 1 1
, X =
μ
μ
μ
3
3
3
z
y
x
, dan B =
μ
μ
μ
3
3
3
0
6
1
.
det A = 2
1 2
1 1 ( 1) 1 1
1 1
1
2 1
1 1
< < + < < = 2(3) – 1(0) + (–1)(–3) = 9
Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh
K11 = (–1)1+1 M11 = 2 1
1 1
< = 1 – (–2) = 3
K12 = (–1)1+2 M12 = 1 1
1 1
= –(1 – 1) = 0
~ ~
~
{
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 89 of 194
82 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
K13 = (–1)1+3 M13 = 1 2
1 1
< = –2 – 1 = –3
K21 = (–1)2+1 M21 = 2 1
1 1
<
< = –(1 – 2) = 1
K22 = (–1)2+2 M22 = 1 1
2 <1
= 2 – (–1) = 3
K23 = (–1)2+3 M23 = – 1 2
2 1
< = –(–4 – 1) = 5
Dengan cara yang sama, kalian akan memperoleh K31 = 2,
K32 = –3, dan K33 = 1 (coba tunjukkan).
Dengan demikian, diperoleh
kof(A) =
KKK
KKK
KKK
11 12 13
21 22 23
31 32 33
3
13 5
2 31
3
3
3
μ
μ
μ
=
<
<
3
3
3
μ
μ
μ
3 0
Oleh karena itu, adj(A) = (kof(A))T
.
Adj(A) =
3 0 <
<
3
3
3
μ
μ
μ
3
13 5
2 31
T
=
312
03 3
35 1
<
<
3
3
3
μ
μ
μ
Jadi, X = det A
1
adj(A)B
μ
μ
μ
3
3
3
z
y
x
=
μ
μ
μ
3
3
3
μ
μ
μ
3
3
3
<
<
0
6
1
3 5 1
0 3 3
3 1 2
9
1 =
μ
μ
μ
3
3
3
27
18
9
9
1 =
μ
μ
μ
3
3
3
3
2
1
Jadi, diperoleh x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian,
himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah
{(1, 2, 3)}.
Soal Kompetensi 7
• Kerjakan di buku tugas
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linear berikut.
a. 2x – y = 3 c. 6x + 2y = –1
2x + y = 1 2x – 4y = –7
b. –x + 2y = 4 d. 2x – 3y = 7
4x + 3y = 17 3x – 6y = 10
Di unduh dari : Bukupaket.com
Page 91 of 194
84 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Rp3.475.000,00. Berapakah banyak karcis harga
Rp15.000,00 dan harga Rp20.000,00 yang terjual?
Selesaikan dengan cara matriks.
9. Perbandingan umur Titi dan Dewi 8 tahun yang lalu adalah
4 : 7. Perbandingan umur mereka 6 tahun yang akan datang
adalah 6 : 7. Dengan cara matriks, tentukan perbandingan
umur Titi dan Dewi sekarang.
10. Pak Rudi dan Pak Maman berjualan jenis barang yang sama.
Modal Pak Rudi Rp4.000.000,00 lebih banyak dari modal
Pak Maman. Jika keuntungan yang di dapat Pak Rudi 15%,
sedangkan keuntungan Pak Maman 30% maka uang mereka
menjadi sama banyak. Hitunglah modal Pak Rudi dan Pak
Maman masing-masing.
Sistem persamaan linear yang disusun dalam bentuk matriks
juga dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode
determinan. Misalnya, sistem persamaan linear untuk dua
variabel dan tiga variabel adalah sebagai berikut.
a. ax + by = p b. a1
x + b1
y + c1
z = d1
cx + dy = q a2
x + b2
y + c2
z = d2
a3
x + b3
y + c3
z = d3
Pada sistem persaman linear dua variabel, bentuk tersebut
dapat diubah ke bentuk matriks berikut.
μ
3
μ =
3
μ
3
q
p
y
x
c d
a b
, dengan A = μ
3
c d
a b , X = μ
3
y
x
, dan B = μ
3
q
p .
Untuk menentukan penyelesaian persamaan matriks
tersebut, terlebih dahulu kita tentukan determinannya sebagai
berikut.
D = a b
c d = ad – bc (Determinan koefisien x dan y, dengan ele- men-elemen matriks A)
Dx
= p b
q d = pd – bq (Ganti kolom ke-1, dengan elemen- elemen matriks B)
Dy
= a p
c q = aq – cp (Ganti kolom ke-2, dengan elemen- elemen matriks B)
3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Determinan
Kuis
• Kerjakan di buku tugas
Nilai x + y yang memenuhi
2 1
1 2
7
1
<
3
μ
3
μ =
3
μ
x
y
adalah ....
a. –4
b. –3
c. –2
d. 2
e. 4
Kompetisi Matematika
DKI, 2000
Di unduh dari : Bukupaket.com