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Premi`ere exploration du monde quantique
Examen - 15 janvier 2014 (3h)
Donn ́ees utiles
1) Commutateur entre op ́erateur position ˆp et une fonction G de l’op ́erateur position ˆx `a
une dimension:
[Gˆ(x), pˆ] = i~
d
dxGˆ(x) .
et `a trois dimensions:
[Gˆ(r), pˆ] = i~∇Gˆ(r) .
2) Primitive d’une fonction A = (Ax, Ay, Az) du vecteur position r en trois dimensions:
G(r) = Z r
r0
dr
0
· A(r
0
)
tel que ∇G = A.
L’int ́egrale qui d ́efinit G est un int ́egrale de ligne qui porte sur un chemin arbitraire qui
connecte le point arbitraire r0 au point r. Il est bien d ́efinit – ind ́ependemment du chemin
arbitraire qui unit r0 et r – si on se restreint `a la r ́egion R de l’espace o`u
I
Γ
dr · A = 0
pour tout chemin ferm ́e Γ contenu en R.
3) Th ́eor`eme de Ehrenfest
i~
d
dthOˆi = h[O, ˆ Hˆ]i .
4) Laplacien en coordonn ́ees sph ́eriques:
∇2 =
1
r
∂
2
∂r2
r(.) −
L2
~
2r
2
o`u L est l’op ́erateur moment angulaire en repr ́esentation x.
5) Mol ́ecule H-Cl:
• mH = 1.67 × 10−27 Kg
• mCl = 58.8 × 10−27 Kg
• ω0 = 2π × 8.66 × 1013 Hz
• r0 = 1.27 ̊A
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6) Op ́erateur position (radiale) en terme des op ́erateurs de cr ́eation/destruction pour l’oscillateur
harmonique
rˆ − r0 =
s
~
2μω0
(ˆa + ˆa
†
)
7) Th ́eorie des perturbations non d ́eg ́en ́er ́ee: soit Hˆ
0 le Hamiltonien imperturb ́e, et |ψni ses
vecteur propres, Hˆ
0|ψni = En|ψni. Les corrections de premier et deuxi`eme ordre `a l’ ́energie
de l’ ́etat fondamental dues `a une perturbation Vˆ valent
∆E
(1)
0 = hψ0|Vˆ |ψ0i
∆E
(2)
0 =
X
n6=0
|hψ0|Vˆ |ψni|2
E0 − En
.
8) Harmoniques sph ́eriques utiles
Y00(θ, φ) = r
1
4π
Y10(θ, φ) = r
3
4π
cos θ
9) charge de l’ ́electron e = 1.6 × 10−19 C.
constante de Planck: ~ = 1.055 ∗ 10−34 J s.
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1 Questions courtes
Ces questions ne demandent pas de calculs ́elabor ́es!
1.1
Un oscillateur harmonique dans l’ ́etat propre du Hamitonien |ni poss`ede la valeur moyenne
hn|xˆ
2
|ni =
7
2
~
mω
. Que vaut n?
R ́eponse. n = 3.
1.2
Quelles valeurs peut prendre le nombre quantique j du module du moment angulaire
́electronique total J = L + S dans le niveau n = 3 de l’atome d’hydrog`ene?
R ́eponse. Comme n = 3, l = 0, 1, 2 et j = 1/2, 3/2, 5/2.
1.3
Une particule est soumise `a un potentiel inconnu V (r). A l’instant t = 0 on mesure son
moment angulaire Lz, et on trouve 7~. On mesure `a nouveau Lz apr`es 1 s et 2 s, et on
trouve toujours 7~; que peut-on conclure par rapport `a V (r)?
R ́eponse. Que V (r) est invariant par rotation autour de l’axe z, c’est `a dire V (x, y, z) =
V (x
2 + y
2
, z).
2 Exercice. Invariance de jauge en m ́ecanique quantique et
effet Aharonov-Bohm
Dans cet exercice on se propose d’ ́etudier certains aspects fondamentaux de la m ́ecanique
quantique d’une particule avec charge q, soumise `a un champ magn ́etique B = B(r). Le
champ magn ́etique est associ ́e `a un potentiel vecteur A(r), tel que
B = ∇ × A .
On admet qu’une particule de charge q et masse m qui bouge en trois dimensions en pr ́esence
d’un potentiel vecteur A qui engendre le champ magn ́etique B poss`ede le Hamiltonien
Hˆ(A) =
pˆ − qAˆ(r)
2
2m
(1)
o`u A(r) est un op ́erateur qui est fonction de l’op ́erateur position avec la mˆeme forme que
le potentiel vecteur A(r).
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