Page 1 of 2
Prof/ATMANI NAJIB 1
Résumé de Cours : Limite d’une fonction
PROF: ATMANI NAJIB 1BAC SM et 2BAC SM BIOF
http:// xriadiat.e-monsite.com
Limite finie L en a finie :
1) Soit f une fonction définie sur un intervalle pointé de centre a
et l un réel. la fonction f tend vers l quand x tend vers a et on
écrit
lim
x a
f x l
ssi :
(∀ε > 0)(∃α >0)(∀x∈Df)(0<|x − a|<α⇒|f(x) −l| < ε
2)Si P est une fonction polynôme alors :
0
0
lim
x x
P x P x
3)Si sur un intervalle pointé de centre a on a : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
et si
lim lim
x a x a
g x h x l
alors
lim
x a
f x l
Limite à droite et limite a gauche
1) Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme
] a, a + r[ où r > 0 et l un réel. On dit que la fonction f tend
vers l quand x tend vers a à droite si la proposition suivante est
vraie :(∀ε > 0)(∃α > 0)(∀x ∈ Df )( a < x < a + α ⇒ |f(x) − l| < ε
Et on écrit :
lim
x a
x a
f x l
ou
lim
x a
f x l
2) Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme
]a - r, a [ où r > 0 et l un réel. On dit que la fonction f tend vers l
quand x tend vers a à gauche si la proposition suivante est vraie :
(∀ε > 0)(∃α > 0)(∀x ∈ Df )( a − α < x < a ⇒ |f(x) − l| < ε
Et on écrit :
lim
x a
x a
f x l
ou
lim
x a
f x l
3) Une fonction f admet une limite l en a si et seulement si elle
admet une limite à droite de a égale à sa limite à gauche de a
égale à l.
Autre limites infinies
1)
lim
x a
f x
ssi :
(∀A > 0)(∃α >0)(∀x∈ Df )(0 <x − a< α ⇒f(x) > A)
2)
lim
x a
f x
:
(∀A >0)(∃α >0)(∀x∈ Df)(0<x − a< α ⇒f(x) < −A)
3)
lim
x a
f x
:
(∀A > 0)(∃α >0)(∀x ∈Df)(0< a − x <α ⇒f(x) >A)
4)
lim
x a
f x
:
(∀A > 0)(∃α> 0)(∀x∈Df )(0 <a − x<α ⇒f(x) <−A)
5)
lim
x
f x l
ssi(∀ε > 0)(∃B > 0)(∀x∈ Df)(x > B⇒|f(x) − l| < ε)
6)
lim
x
f x l
ssi
(∀ε > 0)(∃B > 0)(∀x ∈ Df )(x < −B ⇒ |f(x) − l|< ε)
7)
lim
x
f x
ssi
(∀A > 0)(∃B > 0)(∀x ∈ Df )(x > B ⇒ f(x) > A)
8)
lim
x
f x
ssi
(∀A > 0)(∃B > 0)(∀x ∈ Df )(x > B ⇒ f(x) < −A)
9)
lim
x
f x
ssi
(∀A > 0)(∃B > 0)(∀x ∈ Df )(x < −B ⇒ f(x) > A)
10)
lim
x
f x
ssi
(∀A > 0)(∃B > 0)(∀x ∈ Df )(x < −B ⇒ f(x) < −A)
10)Si
x I
:|f(x) − l| ≤ u(x) et
lim 0
x a
u x
alors
lim
x a
f x l
(On peut citer les mêmes
propriétés à gauche et a droites de a ou
ou
.)
11)Si
x I
: |f(x) | ≤ u(x) et
lim 0
x
u x
alors
lim 0
x
f x
12)Si f admet une limite en
a
et f positif sur un
intervalle pointé de centre a alors :
lim 0
x a
f x
13)Si f admet une limite en
a
et g admet une limite
en
a et
f g
sur un intervalle pointé de centre a
alors
lim lim
x a x a
f x g x
14)si on a : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et si
lim
x a
g x l
et
lim
x a
h x l
alors
lim
x a
x a
f x l
15)si on a : u(x) ≤ v(x) et
lim
x a
u x
alors :
lim
x a
v x
16)Si on a : u(x) ≤ v(x) et
lim
x a
v x
alors :
lim
x a
u x
Les propriétés précédentes restent vraies si x tend
vers a à gauche, ou +∞ ou −∞ en tenant compte des
conditions pour chaque cas.
Limites usuels :
1) Les fonctions :
x k x
;
x k x
;
n
x k x
Tendent vers 0 quand x rend vers 0.
2)l’inverse des fonctions
x k x
;
x k x
;
n
x k x
où k un réel strictement positif et n ∈ N∗,
tendent vers +∞ quand x tend vers 0.
3) les fonctions
k
x
x
;
k
x
x
;
n
k
x
x
où k un réel donné et n ∈ N∗
Tendent vers 0 quand x tend vers +∞.
LIMITE D’UNE FONCTION
Page 2 of 2
Prof/ATMANI NAJIB 2
4) Les fonctions :
2
x x
;
n
x x
(n ∈ N∗);
x x
et
x x
tendent vers +∞ quand x tend vers +∞
Opérations sur les limites
Quelques techniques usuelles pour lever l’indéterminations :
Mise en facteur du terme prépondérant ou Utilisation d’une quantité conjuguée ou utilisation d’un taux d’accroissement...
Remarques :1) La limite d’une fonction polynôme en +∞ (−∞) est la limite de son plus grand terme
2) La limite d’une fonction rationnelle en +∞ (−∞) est la limite du rapport des termes de plus grand degré
Limites des fonctions trigonométriques :
Soit
a
on a :1)
limsin sin
x a
x a
2)
limcos cos
x a
x a
3)si
2
a k
lim tan tan
x a
x a
4)
0
sin lim 1
x
x
x
5)
0
tan lim 1
x
x
x
6)
0
sin lim 1
x
ax
ax
7)
0
tan lim 1
x
ax
ax
8)
2
0
1 cos 1 lim
x 2
x
x
Etude d’asymptotes et de branches infinies.
L ́étude des branches infinies a pour objectif de comprendre en d ́détails le comportement de la courbe de la fonction
La première chose à faire est de calculer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction :
Si
lim
x a
f x
ou
lim
x a
f x
ou lim
x a
f x
ou
lim
x a
f x
alors la courbe
C
admet
une asymptote verticale d ́équation
x a
Si
lim
x
f x b
ou
lim
x
f x b
alors la courbe admet une asymptote horizontale d ́équation
y b
Si
lim
x
f x
en en va étudier les branches infinies
C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe. C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et
exercices Que l’on devient un mathématicien lim
x
f x
lim
x
f x
a
x
lim
x
f x
x
lim 0
x
f x
x
la courbe de f admet une
branche parabolique
dans la direction d’axe
(Oy). au voisinage de
lim
x
f x ax b
lim
x
f x ax
la courbe de f admet
une branche
parabolique dans
la direction d’axe
(Ox). au voisinage
de
la courbe de f admet une
asymptote oblique
d ́équation y=ax+b au
voisinage de
la courbe de f admet une
branche parabolique dans la
direction de la droite y=ax
au voisinage de