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Universidad Complutense de Madrid
Doble Grado en Matemáticas y Física
Extensiones del Teorema
Fundamental del Cálculo y de
la Teoría de Diferenciación de
Integrales
Trabajo de Fin de Grado
Luis Ignacio Saturnino González
Director:
F. Javier Soria de Diego
25 de septiembre de 2020
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Resumen:
En este trabajo exponemos los resultados principales de la teoría de diferenciación de
integrales. Esta teoría tiene su origen en el estudio de la convergencia de los promedios de
una función en un punto cuando el diámetro de los conjuntos tiende a cero. Tras denir en
el primer capítulo el Operador Maximal de Hardy-Littlewood e introducir las herramien- tas necesarias para el desarrollo del trabajo, el segundo capítulo se dedica a demostrar
el Teorema de Diferenciación Lebesgue (1910). En este teorema los promedios se toman
sobre bolas y es de interés preguntarse si podemos encontrar propiedades de diferenciación
similares si promediamos sobre otros conjuntos. Esta es la cuestión central del trabajo, que
será tratada con profundidad en el tercer capítulo, donde se denen los conceptos de base
de diferenciación y base de densidad. Se verá que, en lo respectivo a esta cuestión, la base
de intervalos se comporta peor que los cubos y las bolas. Sin embargo, también se encon- trarán resultados de importancia como el Teorema de Jessen, Marcinkiewicz y Zygmund
(1935). Por último, en el cuarto capítulo se enuncia la Conjetura del Halo y se hace una
reexión sobre los resultados obtenidos en los capítulos anteriores.
Abstract:
The main results of the dierentiation theory of integrals are exposed in this project.
This theory takes its origin in the study of the convergence of the averages of a function
in a point when the sets gets smaller and smaller. After dening in the rst chapter the
Hardy-Littlewood Maximal Operatior and introducing the necessary tools, the Lebesgue
Dierentiation Theorem (1910) will be proved in the second chapter. In this theorem
the average is calculated over balls so it is interesting to wonder if we could nd similar
dierentiaton results averaging over others kinds of sets. This is the main question of
this project and it will be studied throughout the third chapter. It will be shown that the
interval basis behave worse than the cubes and balls one. However, some importants results
will be found as the Jessen, Marcinkiewicz and Zygmund Theorem (1935). Finally, in the
fourth chapter the Halo Conjecture is stated and a reection on the results obtained in the
previous chapters is made.