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Guía de actividades y rúbrica de evaluación

Tarea 1

Exploración de Funciones de Varias Variables y Diferenciación.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

Ejercicios Tarea 1

Cálculo Multivariado

A continuación, se presentan los ejercicios asignados para el desarrollo

de Tarea 1 Exploración de Funciones de Varias Variables y

Diferenciación.

Ejercicio 1. Curvas en el espacio.

Considere las parametrizaciones correspondientes a los literales

escogidos A, B, C, D y E. Ahora, proceda a resolver los ítems según las

instrucciones proporcionadas:

• Utilizando GeoGebra, construya la gráfica tridimensional de la curva

utilizando la parametrización dada.

• Determine los vectores velocidad �⃗(�) y aceleración �⃗(�) para la curva

dada. Además, encuentre el triedro de Frenet asociado a la curva. Este

triedro consta de tres vectores: el vector tangente �⃗(�), el vector

normal �⃗(�), y el vector binormal �⃗(�). Especifique claramente cada

uno de estos vectores en términos de sus componentes �(�), �(�) y �(�).

Utilizando GeoGebra, dibuje el triedro de Frenet en un punto

cualquiera de la curva dada. Asegúrese de identificar claramente los

tres vectores: el vector tangente �⃗(�), el vector normal �⃗(�), y el

vector binormal �⃗(�) en su dibujo.

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B. La parametrización �⃗(�) = (3���(�), 3���(�), �) está definida para 0 ≤

� ≤ 6�.

Ejercicio 2. Graficas de Funciones de dos variables.

Considere las funciones correspondientes a los literales escogidos A, B,

C, D y E. A continuación, proceda a resolver los siguientes ítems:

• Utilice GeoGebra para graficar las curvas de nivel de la función �(�, �)

en el plano �� para los valores de �(�, �) = 0, 1, 2,3.

• Encuentra la ecuación algebraica y describe la distribución y la forma

de las curvas de nivel, identificando específicamente qué tipo de

cónicas representan en relación con las características de cada

función.

• Utilice GeoGebra para visualizar la superficie definida por cada

función.

Ejercicio 3. Límites de funciones de dos variables.

Considere el límite correspondiente al literal escogido A, B, C, D y E.

Determine la existencia de estos límites conforme (�, �) se aproxima al

origen (0, 0) mediante el uso de coordenadas polares (�, �). donde � = �

���(�) y � = � ���(�). Analice y justifique la existencia de los límites

realizando los siguientes pasos y respondiendo los interrogantes:

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• Exprese cada función en términos de � y � utilizando las relaciones

� = � ���(�) y � = � ���(�).

• Evalúe el límite conforme � tiende a 0. ¿El límite depende del ángulo

�? ¿Existe el límite cuando (�, �) tienden a (0,0)?

Ejercicio 4. Regla de la cadena

Para resolver los problemas correspondientes a los literales

seleccionados (A, B, C, D y E), proceda según los siguientes pasos:

• Sustituya las expresiones dadas para �(�) e �(�) en la función �.

• Calcule utilizando la regla de la cadena y exprese el resultado final

en

términos de la variable �.

Ejercicio 5. Derivadas direccionales y vector gradiente.

Considere las funciones correspondientes a los literales seleccionados

(A, B, C, D y E). Luego, resuelva los siguientes problemas:

• Calcular las derivadas parciales de �(�, �) en el punto �(2,1).